ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.23

**1)** $y = (x - 1)^3 \sqrt{x}$ Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и формулу производной сложной функции: $$ u = (x - 1)^3 \implies u' = 3(x - 1)^2 \cdot (x - 1)' = 3(x - 1)^2 $$ $$ v = \sqrt{x} \implies v' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Находим производную функции: $$ y' = \left((x - 1)^3\right)' \cdot \sqrt{x} + (x - 1)^3 \cdot (\sqrt{x})' $$ $$ y' = 3(x - 1)^2 \sqrt{x} + \frac{(x - 1)^3}{2\sqrt{x}} $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x}$: $$ y' = \frac{3(x - 1)^2 \cdot 2x + (x - 1)^3}{2\sqrt{x}} = \frac{6x(x - 1)^2 + (x - 1)^3}{2\sqrt{x}} $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)^2$ за скобки в числителе: $$ y' = \frac{(x - 1)^2 (6x + x - 1)}{2\sqrt{x}} = \frac{(x - 1)^2 (7x - 1)}{2\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{(x - 1)^2 (7x - 1)}{2\sqrt{x}}$ --- **2)** $y = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$ Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(x - 1)'(x^2 + 1) - (x - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} $$ Так как $(x - 1)' = 1$ и $(x^2 + 1)' = 2x$, получаем: $$ y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - (x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ y' = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} $$ **Ответ:** $y' = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$ --- **3)** $y = \sqrt{2 - 5x}$ Функция является сложной: $y = \sqrt{u}$, где $u = 2 - 5x$. Используем формулу дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$: $$ y' = \frac{(2 - 5x)'}{2\sqrt{2 - 5x}} $$ Так как $(2 - 5x)' = -5$, имеем: $$ y' = \frac{-5}{2\sqrt{2 - 5x}} = -\frac{5}{2\sqrt{2 - 5x}} $$ **Ответ:** $y' = -\frac{5}{2\sqrt{2 - 5x}}$