ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.21

### 1) $\log_{1,6} \log_{0,5} (x^2 - x - 6) \geq 0$ Так как основание внешнего логарифма $1{,}6 > 1$, функция $y = \log_{1,6} t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $$ \log_{0,5} (x^2 - x - 6) \geq 1{,}6^0 $$ $$ \log_{0,5} (x^2 - x - 6) \geq 1 $$ Так как основание логарифма $0{,}5 \in (0; 1)$, функция $y = \log_{0,5} u$ убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Также учитываем, что подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля: $$ 0 < x^2 - x - 6 \leq 0{,}5^1 $$ Получаем систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - x - 6 > 0, \\ x^2 - x - 6 \leq 0{,}5 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ (x - 3)(x + 2) > 0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty) $$ Решим второе неравенство: $$ x^2 - x - 6{,}5 \leq 0 $$ $$ 2x^2 - 2x - 13 \leq 0 $$ Найдем корни уравнения $2x^2 - 2x - 13 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-13) = 4 + 104 = 108 = (6\sqrt{3})^2 $$ $$ x_1 = \frac{2 - 6\sqrt{3}}{4} = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{2 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2} $$ Решением второго неравенства является отрезок: $$ x \in \left[\frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}; \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}\right] $$ Сравним корни с числами $-2$ и $3$: $\frac{1 - 3\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1 - 5{,}196}{2} \approx -2{,}1 < -2$, $\frac{1 + 3\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1 + 5{,}196}{2} \approx 3{,}1 > 3$. Находим пересечение решений: $$ x \in \left[\frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}; -2\right) \cup \left(3; \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}\right] $$ **Ответ:** $\left[\frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}; -2\right) \cup \left(3; \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}\right]$ --- ### 2) $\log_{0,5} \log_4 (2x^2 + x - 1) < 1$ Так как основание внешнего логарифма $0{,}5 \in (0; 1)$, функция является убывающей. При потенцировании знак неравенства меняется: $$ \log_4 (2x^2 + x - 1) > 0{,}5^1 $$ $$ \log_4 (2x^2 + x - 1) > 0{,}5 $$ *(Условие положительности выражения $\log_4 (2x^2 + x - 1) > 0$ выполняется автоматически, так как $0{,}5 > 0$.)* Так как основание логарифма $4 > 1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ 2x^2 + x - 1 > 4^{0{,}5} $$ $$ 2x^2 + x - 1 > 2 $$ $$ 2x^2 + x - 3 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 3 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 5}{4} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = 1 $$ Разложим на множители: $$ 2(x + 1{,}5)(x - 1) > 0 $$ $$ x \in (-\infty; -1{,}5) \cup (1; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -1{,}5) \cup (1; +\infty)$ --- ### 3) $\log_{\frac{1}{9}} \log_3 \frac{x}{x-1} \geq 0$ Так как основание внешнего логарифма $\frac{1}{9} \in (0; 1)$, функция убывает. Учитывая, что выражение под знаком внешнего логарифма должно быть строго положительным, получаем двойное неравенство: $$ 0 < \log_3 \frac{x}{x-1} \leq \left(\frac{1}{9}\right)^0 $$ $$ 0 < \log_3 \frac{x}{x-1} \leq 1 $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, функция возрастает: $$ 3^0 < \frac{x}{x-1} \leq 3^1 $$ $$ 1 < \frac{x}{x-1} \leq 3 $$ Запишем в виде системы неравенств: $$ \begin{cases} \dfrac{x}{x-1} > 1, \\ \dfrac{x}{x-1} \leq 3 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{x}{x-1} - 1 > 0 \implies \frac{x - (x - 1)}{x - 1} > 0 \implies \frac{1}{x - 1} > 0 \implies x - 1 > 0 \implies x > 1 $$ Решим второе неравенство: $$ \frac{x}{x-1} - 3 \leq 0 \implies \frac{x - 3(x - 1)}{x - 1} \leq 0 \implies \frac{3 - 2x}{x - 1} \leq 0 \implies \frac{2x - 3}{x - 1} \geq 0 $$ С учетом $x > 1$ знаменатель $x - 1 > 0$, следовательно: $$ 2x - 3 \geq 0 \implies x \geq 1{,}5 $$ Пересечением решений системы является луч $[1{,}5; +\infty)$. **Ответ:** $[1{,}5; +\infty)$ --- ### 4) $\log_{1,5} \log_3 \frac{3x - 5}{x + 1} \leq 0$ Так как основание внешнего логарифма $1{,}5 > 1$, функция возрастает. Учитывая условие положительности аргумента внешнего логарифма, получаем: $$ 0 < \log_3 \frac{3x - 5}{x + 1} \leq 1{,}5^0 $$ $$ 0 < \log_3 \frac{3x - 5}{x + 1} \leq 1 $$ Так как основание $3 > 1$, знак неравенств сохраняется: $$ 3^0 < \frac{3x - 5}{x + 1} \leq 3^1 $$ $$ 1 < \frac{3x - 5}{x + 1} \leq 3 $$ Запишем в виде системы: $$ \begin{cases} \dfrac{3x - 5}{x + 1} > 1, \\ \dfrac{3x - 5}{x + 1} \leq 3 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{3x - 5}{x + 1} - 1 > 0 \implies \frac{3x - 5 - (x + 1)}{x + 1} > 0 \implies \frac{2x - 6}{x + 1} > 0 \implies \frac{x - 3}{x + 1} > 0 $$ По методу интервалов: $$ x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) $$ Решим второе неравенство: $$ \frac{3x - 5}{x + 1} - 3 \leq 0 \implies \frac{3x - 5 - 3(x + 1)}{x + 1} \leq 0 \implies \frac{-8}{x + 1} \leq 0 \implies \frac{8}{x + 1} \geq 0 $$ Откуда: $$ x + 1 > 0 \implies x > -1 $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty), \\ x > -1 \end{cases} \implies x \in (3; +\infty) $$ **Ответ:** $(3; +\infty)$