ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.20

### 1) $\log_7^2 (7x) - \log_7 x \geq 3$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ 2. Преобразуем выражение $\log_7 (7x)$, применив свойство логарифма произведения: $$ \log_7 (7x) = \log_7 7 + \log_7 x = 1 + \log_7 x $$ 3. Подставим это выражение в исходное неравенство: $$ (1 + \log_7 x)^2 - \log_7 x \geq 3 $$ $$ 1 + 2\log_7 x + \log_7^2 x - \log_7 x - 3 \geq 0 $$ $$ \log_7^2 x + \log_7 x - 2 \geq 0 $$ 4. Пусть $t = \log_7 x$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 + t - 2 \geq 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (t + 2)(t - 1) \geq 0 $$ Решением этого неравенства является: $$ t \leq -2 \quad \text{или} \quad t \geq 1 $$ 5. Выполним обратную замену: * При $t \leq -2$: $$ \log_7 x \leq -2 $$ Так как основание $7 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x \leq 7^{-2} \implies x \leq \frac{1}{49} $$ С учетом ОДЗ ($x > 0$): $0 < x \leq \frac{1}{49}$. * При $t \geq 1$: $$ \log_7 x \geq 1 \implies x \geq 7^1 \implies x \geq 7 $$ Ответ: $\left(0; \frac{1}{49}\right] \cup [7; +\infty)$. --- ### 2) $\log_6^2 \frac{x}{216} + 8 \log_6 x - 12 \leq 0$ 1. ОДЗ: $$ x > 0 $$ 2. Преобразуем логарифм частного, учитывая, что $216 = 6^3$: $$ \log_6 \frac{x}{216} = \log_6 x - \log_6 216 = \log_6 x - 3 $$ 3. Подставим в неравенство: $$ (\log_6 x - 3)^2 + 8 \log_6 x - 12 \leq 0 $$ $$ \log_6^2 x - 6\log_6 x + 9 + 8\log_6 x - 12 \leq 0 $$ $$ \log_6^2 x + 2\log_6 x - 3 \leq 0 $$ 4. Сделаем замену переменной $t = \log_6 x$: $$ t^2 + 2t - 3 \leq 0 $$ $$ (t + 3)(t - 1) \leq 0 $$ Отсюда: $$ -3 \leq t \leq 1 $$ 5. Вернемся к переменной $x$: $$ -3 \leq \log_6 x \leq 1 $$ Так как основание $6 > 1$, знаки неравенства сохраняются: $$ 6^{-3} \leq x \leq 6^1 $$ $$ \frac{1}{216} \leq x \leq 6 $$ Значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\left[\frac{1}{216}; 6\right]$. --- ### 3) $\frac{\log_3^2 x - 6 \log_3 x + 8}{\log_3 x - 1} \geq 0$ 1. ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 3 \end{cases} $$ 2. Пусть $t = \log_3 x$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{t^2 - 6t + 8}{t - 1} \geq 0 $$ Разложим числитель на множители по теореме Виета ($t_1 = 2$, $t_2 = 4$): $$ \frac{(t - 2)(t - 4)}{t - 1} \geq 0 $$ 3. Решим дробно-рациональное неравенство методом интервалов относительно $t$: * Нули числителя: $t = 2$, $t = 4$ (закрашенные точки); * Ноль знаменателя: $t = 1$ (выколотая точка). Расставим знаки на интервалах: * при $t > 4$: $+$ * при $2 \leq t \leq 4$: $-$ * при $1 < t \leq 2$: $+$ * при $t < 1$: $-$ Следовательно: $$ 1 < t \leq 2 \quad \text{или} \quad t \geq 4 $$ 4. Возвращаемся к замене: * Случай 1: $$ 1 < \log_3 x \leq 2 $$ Так как основание $3 > 1$: $$ 3^1 < x \leq 3^2 \implies 3 < x \leq 9 $$ * Случай 2: $$ \log_3 x \geq 4 \implies x \geq 3^4 \implies x \geq 81 $$ Все полученные решения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(3; 9] \cup [81; +\infty)$. --- ### 4) $\log_{0,5} x - 2 \log_x 0,5 \leq 1$ 1. ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_x 0,5 = \frac{1}{\log_{0,5} x}$. Получаем: $$ \log_{0,5} x - \frac{2}{\log_{0,5} x} \leq 1 $$ 3. Пусть $t = \log_{0,5} x$. Так как $x \neq 1$, то $t \neq 0$: $$ t - \frac{2}{t} - 1 \leq 0 $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{t^2 - t - 2}{t} \leq 0 $$ $$ \frac{(t - 2)(t + 1)}{t} \leq 0 $$ 4. Решим неравенство методом интервалов относительно $t$: * Нули числителя: $t = -1$, $t = 2$ (закрашенные точки); * Ноль знаменателя: $t = 0$ (выколотая точка). Расставим знаки: * при $t > 2$: $+$ * при $0 < t \leq 2$: $-$ * при $-1 \leq t < 0$: $+$ * при $t \leq -1$: $-$ Значит, неравенство выполняется при: $$ t \leq -1 \quad \text{или} \quad 0 < t \leq 2 $$ 5. Перейдем к переменной $x$. Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, знаки неравенств меняются на противоположные: * При $t \leq -1$: $$ \log_{0,5} x \leq -1 \implies x \geq (0,5)^{-1} \implies x \geq 2 $$ * При $0 < t \leq 2$: $$ 0 < \log_{0,5} x \leq 2 \implies (0,5)^2 \leq x < (0,5)^0 \implies 0,25 \leq x < 1 $$ Все найденные значения входят в ОДЗ. Ответ: $[0,25; 1) \cup [2; +\infty)$.