ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.19

1) $\log_2^2(4x) + 2\log_2 x - 11 < 0$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Используем свойство логарифма произведения $\log_2(4x) = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x$. Перепишем неравенство: $$ (2 + \log_2 x)^2 + 2\log_2 x - 11 < 0 $$ Раскроем скобки: $$ 4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x + 2\log_2 x - 11 < 0 $$ $$ \log_2^2 x + 6\log_2 x - 7 < 0 $$ Пусть $\log_2 x = t$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 + 6t - 7 < 0 $$ Найдем корни уравнения $t^2 + 6t - 7 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = -7$, $t_2 = 1$. Следовательно: $$ (t + 7)(t - 1) < 0 \implies -7 < t < 1 $$ Вернемся к переменной $x$: $$ -7 < \log_2 x < 1 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ 2^{-7} < x < 2^1 $$ $$ \frac{1}{128} < x < 2 $$ Полученный интервал удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\left(\frac{1}{128}; 2\right)$. --- 2) $\log_3^2(27x) + 3\log_3 x - 19 \geq 0$ Найдем ОДЗ: $x > 0$. Преобразуем выражение $\log_3(27x) = \log_3 27 + \log_3 x = 3 + \log_3 x$. Подставим в неравенство: $$ (3 + \log_3 x)^2 + 3\log_3 x - 19 \geq 0 $$ $$ 9 + 6\log_3 x + \log_3^2 x + 3\log_3 x - 19 \geq 0 $$ $$ \log_3^2 x + 9\log_3 x - 10 \geq 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $\log_3 x = t$. $$ t^2 + 9t - 10 \geq 0 $$ Корни уравнения $t^2 + 9t - 10 = 0$: $t_1 = -10$, $t_2 = 1$. Решим неравенство методом интервалов: $$ (t + 10)(t - 1) \geq 0 \implies t \leq -10 \quad \text{или} \quad t \geq 1 $$ Сделаем обратную замену: 1. $\log_3 x \leq -10$ Так как основание $3 > 1$, то с учетом ОДЗ получаем: $$ 0 < x \leq 3^{-10} $$ 2. $\log_3 x \geq 1$ $$ x \geq 3^1 \implies x \geq 3 $$ Ответ: $(0; 3^{-10}] \cup [3; +\infty)$. --- 3) $\frac{\lg^2 x + \lg x - 6}{\lg x} \geq 0$ Найдем ОДЗ: $x > 0$ и знаменатель не равен нулю: $\lg x \neq 0 \implies x \neq 1$. Пусть $\lg x = t$. Получаем рациональное неравенство: $$ \frac{t^2 + t - 6}{t} \geq 0 $$ Разложим числитель на множители. Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$: $t_1 = -3$, $t_2 = 2$. $$ \frac{(t + 3)(t - 2)}{t} \geq 0 $$ Решим неравенство методом интервалов относительно $t$: $$ t \in [-3; 0) \cup [2; +\infty) $$ Сделаем обратную замену: 1. $-3 \leq \lg x < 0$ Так как основание логарифма $10 > 1$: $$ 10^{-3} \leq x < 10^0 \implies \frac{1}{1000} \leq x < 1 $$ 2. $\lg x \geq 2$ $$ x \geq 10^2 \implies x \geq 100 $$ Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $[0{,}001; 1) \cup [100; +\infty)$. --- 4) $2\log_5 x - \log_x 5 \leq 1$ Найдем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$: $$ 2\log_5 x - \frac{1}{\log_5 x} \leq 1 $$ Пусть $\log_5 x = t$. Получаем: $$ 2t - \frac{1}{t} - 1 \leq 0 $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{2t^2 - t - 1}{t} \leq 0 $$ Найдем корни числителя: $2t^2 - t - 1 = 0$, $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. $t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$. Разложим числитель на множители: $$ \frac{2\left(t + \frac{1}{2}\right)(t - 1)}{t} \leq 0 $$ Применим метод интервалов относительно $t$: $$ t \leq -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad 0 < t \leq 1 $$ Сделаем обратную замену: 1. $\log_5 x \leq -\frac{1}{2}$ Так как основание $5 > 1$, с учетом ОДЗ ($x > 0$): $$ 0 < x \leq 5^{-\frac{1}{2}} \implies 0 < x \leq \frac{1}{\sqrt{5}} $$ 2. $0 < \log_5 x \leq 1$ $$ 5^0 < x \leq 5^1 \implies 1 < x \leq 5 $$ Все полученные промежутки входят в ОДЗ. Ответ: $\left(0; \frac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup (1; 5]$.