ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.18

1) $\log_{0,5}^2 x \geq 9$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Пусть $\log_{0,5} x = t$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 \geq 9 $$ $$ t^2 - 9 \geq 0 \iff (t - 3)(t + 3) \geq 0 $$ Решением этого неравенства является совокупность: $$ \left[ \begin{aligned} & t \leq -3, \\ & t \geq 3. \end{aligned} \right. $$ Выполним обратную замену: $$ \left[ \begin{aligned} & \log_{0,5} x \leq -3, \\ & \log_{0,5} x \geq 3. \end{aligned} \right. $$ Так как основание логарифмической функции $0 < 0,5 < 1$, функция убывает, и при переходе к аргументам знаки неравенств меняются на противоположные: $$ \left[ \begin{aligned} & x \geq 0,5^{-3}, \\ & x \leq 0,5^3. \end{aligned} \right. $$ Вычислим степени: $0,5^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$; $0,5^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0,125$. Получаем: $$ \left[ \begin{aligned} & x \geq 8, \\ & x \leq 0,125. \end{aligned} \right. $$ С учётом ОДЗ ($x > 0$): $x \in (0; 0,125] \cup [8; +\infty)$. Ответ: $(0; 0,125] \cup [8; +\infty)$. --- 2) $\lg^2 x - 2\lg x - 3 \geq 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Пусть $\lg x = t$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - 2t - 3 \geq 0 $$ Разложим левую часть на множители, найдя корни уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$: по теореме Виета $t_1 = -1$, $t_2 = 3$. $$ (t + 1)(t - 3) \geq 0 $$ Отсюда: $$ \left[ \begin{aligned} & t \leq -1, \\ & t \geq 3. \end{aligned} \right. $$ Выполним обратную замену: $$ \left[ \begin{aligned} & \lg x \leq -1, \\ & \lg x \geq 3. \end{aligned} \right. $$ Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастает и знаки неравенств сохраняются: $$ \left[ \begin{aligned} & x \leq 10^{-1}, \\ & x \geq 10^3. \end{aligned} \right. $$ $$ \left[ \begin{aligned} & x \leq 0,1, \\ & x \geq 1000. \end{aligned} \right. $$ С учётом ОДЗ ($x > 0$): $x \in (0; 0,1] \cup [1000; +\infty)$. Ответ: $(0; 0,1] \cup [1000; +\infty)$. --- 3) $2\log_4^2 x - \log_4 x - 1 < 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Пусть $\log_4 x = t$. Получаем квадратное неравенство: $$ 2t^2 - t - 1 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $2t^2 - t - 1 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$; $t_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$. Неравенство принимает вид: $$ 2\left(t + \frac{1}{2}\right)(t - 1) < 0 \iff -\frac{1}{2} < t < 1 $$ Выполним обратную замену: $$ -\frac{1}{2} < \log_4 x < 1 $$ Так как основание $4 > 1$, функция возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются: $$ 4^{-\frac{1}{2}} < x < 4^1 $$ Так как $4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0,5$, получаем: $$ 0,5 < x < 4 $$ Все полученные значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $(0,5; 4)$. --- 4) $\log_{0,2}^2 x - \log_{0,2} x - 2 \leq 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Пусть $\log_{0,2} x = t$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - t - 2 \leq 0 $$ Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = -1$, $t_2 = 2$. $$ (t + 1)(t - 2) \leq 0 \iff -1 \leq t \leq 2 $$ Выполним обратную замену: $$ -1 \leq \log_{0,2} x \leq 2 $$ Так как основание логарифма $0 < 0,2 < 1$, функция убывает, и знаки неравенств меняются на противоположные: $$ 0,2^2 \leq x \leq 0,2^{-1} $$ Вычислим граничные значения: $0,2^2 = 0,04$; $0,2^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$. Получаем: $$ 0,04 \leq x \leq 5 $$ Все полученные значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $[0,04; 5]$.