ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.13

1) $\log_{0,3}(x^2 + x - 12) \geq \log_{0,3}(6x - 6)$ Так как основание логарифма $0 < 0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный. С учётом области допустимых значений составляем систему: $$ \begin{cases} x^2 + x - 12 \leq 6x - 6, \\ x^2 + x - 12 > 0. \end{cases} $$ Условие $6x - 6 > 0$ выполняется автоматически, так как $6x - 6 \geq x^2 + x - 12 > 0$. Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 5x - 6 \leq 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 6$. Решением неравенства является отрезок: $$ x \in [-1; 6] $$ Решим второе неравенство системы: $$ x^2 + x - 12 > 0 $$ Корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$. Решением неравенства являются интервалы: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty) $$ Найдём пересечение полученных решений: $$ [-1; 6] \cap ((-\infty; -4) \cup (3; +\infty)) = (3; 6] $$ Ответ: $(3; 6]$. --- 2) $\lg(x^2 - x) \leq \lg(3x - 3)$ Основание логарифма равно $10 > 1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x^2 - x \leq 3x - 3, \\ x^2 - x > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 4x + 3 \leq 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Решением является отрезок: $$ x \in [1; 3] $$ Решим второе неравенство системы: $$ x(x - 1) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) $$ Пересечём найденные промежутки: $$ [1; 3] \cap ((-\infty; 0) \cup (1; +\infty)) = (1; 3] $$ Ответ: $(1; 3]$. --- 3) $\log_{0,8}(1 - x^2) > \log_{0,8}(x^2 + 5x - 2)$ Основание логарифма $0 < 0,8 < 1$, функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный: $$ \begin{cases} 1 - x^2 < x^2 + 5x - 2, \\ 1 - x^2 > 0. \end{cases} $$ Условие $x^2 + 5x - 2 > 0$ выполняется автоматически, так как $x^2 + 5x - 2 > 1 - x^2 > 0$. Решим первое неравенство системы: $$ 2x^2 + 5x - 3 > 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$, $$ x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2} $$ Решение неравенства: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (0,5; +\infty) $$ Решим второе неравенство системы: $$ 1 - x^2 > 0 \iff x^2 < 1 \iff x \in (-1; 1) $$ Найдём пересечение решений: $$ ((-1; 1)) \cap ((-\infty; -3) \cup (0,5; +\infty)) = (0,5; 1) $$ Ответ: $(0,5; 1)$. --- 4) $2\log_2(2x + 7) \geq 5 + \log_2(x + 2)$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2x + 7 > 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3,5, \\ x > -2 \end{cases} \implies x > -2 $$ Преобразуем неравенство, представив число $5$ как $\log_2 2^5 = \log_2 32$: $$ \log_2(2x + 7)^2 \geq \log_2 32 + \log_2(x + 2) $$ $$ \log_2(2x + 7)^2 \geq \log_2(32(x + 2)) $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ (2x + 7)^2 \geq 32(x + 2) $$ $$ 4x^2 + 28x + 49 \geq 32x + 64 $$ $$ 4x^2 - 4x - 15 \geq 0 $$ Найдём корни уравнения $4x^2 - 4x - 15 = 0$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256 = 16^2$, $$ x_1 = \frac{4 - 16}{8} = -1,5, \quad x_2 = \frac{4 + 16}{8} = 2,5 $$ Решением квадратного неравенства является: $$ x \in (-\infty; -1,5] \cup [2,5; +\infty) $$ С учётом ОДЗ ($x > -2$): $$ x \in (-2; -1,5] \cup [2,5; +\infty) $$ Ответ: $(-2; -1,5] \cup [2,5; +\infty)$. --- 5) $\log_3(x^2 + 2x - 3) \leq \log_3(x + 9)$ Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x^2 + 2x - 3 \leq x + 9, \\ x^2 + 2x - 3 > 0. \end{cases} $$ Условие $x + 9 > 0$ выполняется автоматически, так как $x + 9 \geq x^2 + 2x - 3 > 0$. Решим первое неравенство системы: $$ x^2 + x - 12 \leq 0 $$ Корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$. $$ x \in [-4; 3] $$ Решим второе неравенство системы: $$ x^2 + 2x - 3 > 0 $$ Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. $$ x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) $$ Найдём пересечение решений: $$ [-4; 3] \cap ((-\infty; -3) \cup (1; +\infty)) = [-4; -3) \cup (1; 3] $$ Ответ: $[-4; -3) \cup (1; 3]$. --- 6) $\log_{\frac{1}{7}}(2x^2 + 3x + 1) \geq 2\log_{\frac{1}{7}}(1 - x)$ Преобразуем правую часть неравенства: $$ \log_{\frac{1}{7}}(2x^2 + 3x + 1) \geq \log_{\frac{1}{7}}(1 - x)^2 $$ Так как основание $0 < \frac{1}{7} < 1$, функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный. Составим систему с учётом ограничений на аргументы: $$ \begin{cases} 2x^2 + 3x + 1 \leq (1 - x)^2, \\ 2x^2 + 3x + 1 > 0, \\ 1 - x > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ 2x^2 + 3x + 1 \leq 1 - 2x + x^2 $$ $$ x^2 + 5x \leq 0 \iff x(x + 5) \leq 0 \implies x \in [-5; 0] $$ Решим второе неравенство: $$ 2x^2 + 3x + 1 > 0 $$ Корни уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$: $D = 9 - 8 = 1$, $$ x_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -0,5 $$ $$ x \in (-\infty; -1) \cup (-0,5; +\infty) $$ Решим третье неравенство: $$ 1 - x > 0 \implies x < 1 $$ Пересечём все три условия: $$ [-5; 0] \cap ((-\infty; -1) \cup (-0,5; +\infty)) \cap (-\infty; 1) = [-5; -1) \cup (-0,5; 0] $$ Ответ: $[-5; -1) \cup (-0,5; 0]$.