ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.10

1) Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{6}}(x + 2) \leq 0 $$ Так как $0 = \log_{\frac{1}{6}} 1$, а основание логарифма $0 < \frac{1}{6} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{6}} t$ является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x + 2 \geq \left(\frac{1}{6}\right)^0 $$ $$ x + 2 \geq 1 $$ $$ x \geq -1 $$ Область допустимых значений: $x + 2 > 0 \implies x > -2$. Условие $x \geq -1$ удовлетворяет ОДЗ. Решением неравенства является промежуток $[-1; +\infty)$. Целыми решениями являются числа $-1, 0, 1, 2, \dots$ Наименьшее целое решение: $-1$. --- 2) Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{2}}(6 - x) > -2 $$ Основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, поэтому функция убывает. Перейдём к равносильной системе с учётом области определения: $$ \begin{cases} 6 - x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \\ 6 - x > 0 \end{cases} $$ Так как $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$, получаем: $$ \begin{cases} 6 - x < 4 \\ -x > -6 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 6 \end{cases} $$ Решением неравенства является интервал $(2; 6)$. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: $3, 4, 5$. Наименьшее целое решение: $3$. --- 3) Решим неравенство: $$ \log_{0,3}(4x - 3) \geq \log_{0,3}(x + 3) $$ Основание логарифма $0 < 0,3 < 1$, поэтому логарифмическая функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный, при этом выражение, стоящее с меньшей стороны, должно быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} 4x - 3 \leq x + 3 \\ 4x - 3 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3x \leq 6 \\ 4x > 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \leq 2 \\ x > 0,75 \end{cases} $$ Решением неравенства является полуинтервал $(0,75; 2]$. Целые числа из этого промежутка: $1, 2$. Наименьшее целое решение: $1$. --- 4) Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x + 1) \geq -1 $$ Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} x^2 - 2x + 1 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \\ x^2 - 2x + 1 > 0 \end{cases} $$ Упростим систему, учитывая, что $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$ и $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$: $$ \begin{cases} x^2 - 2x - 2 \leq 0 \\ (x - 1)^2 > 0 \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 $$ $$ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} $$ Решением первого неравенства является отрезок $[1 - \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3}]$. Второе неравенство $(x - 1)^2 > 0$ выполняется при всех $x \neq 1$. Таким образом, решение системы: $$ x \in [1 - \sqrt{3}; 1) \cup (1; 1 + \sqrt{3}] $$ Оценим границы промежутков, зная, что $\sqrt{3} \approx 1,73$: $1 - \sqrt{3} \approx -0,73$, а $1 + \sqrt{3} \approx 2,73$. Целыми числами на данном множестве являются $0$ и $2$. Наименьшее целое решение: $0$. --- **Ответ:** 1) $-1$; 2) $3$; 3) $1$; 4) $0$.