ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.16

### 1) $\log_2(-x) + \log_2(1 - x) \leq 1$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} -x > 0, \\ 1 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 0, \\ x < 1 \end{cases} \iff x < 0. $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$. 2. Преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов и представив единицу в виде логарифма: $1 = \log_2 2$: $$ \log_2((-x)(1 - x)) \leq \log_2 2. $$ 3. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ (-x)(1 - x) \leq 2, $$ $$ x^2 - x - 2 \leq 0. $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (x - 2)(x + 1) \leq 0. $$ Решением этого неравенства является отрезок: $$ x \in [-1; 2]. $$ 4. Пересечем полученное решение с ОДЗ: $$ \begin{cases} -1 \leq x \leq 2, \\ x < 0 \end{cases} \iff -1 \leq x < 0. $$ **Ответ:** $[-1; 0)$. --- ### 2) $\log_{0,2}(x - 1) + \log_{0,2}(x + 3) \geq -1$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ x + 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1, \\ x > -3 \end{cases} \iff x > 1. $$ ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$. 2. Представим число $-1$ как логарифм по основанию $0,2$: $$ -1 = \log_{0,2}(0,2)^{-1} = \log_{0,2}\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = \log_{0,2} 5. $$ Перепишем неравенство: $$ \log_{0,2}((x - 1)(x + 3)) \geq \log_{0,2} 5. $$ 3. Так как основание логарифма $0 < 0,2 < 1$, логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$ (x - 1)(x + 3) \leq 5, $$ $$ x^2 + 2x - 3 \leq 5, $$ $$ x^2 + 2x - 8 \leq 0, $$ $$ (x + 4)(x - 2) \leq 0. $$ Решением неравенства является: $$ x \in [-4; 2]. $$ 4. Учтем ОДЗ ($x > 1$): $$ \begin{cases} -4 \leq x \leq 2, \\ x > 1 \end{cases} \iff 1 < x \leq 2. $$ **Ответ:** $(1; 2]$. --- ### 3) $\log_3(x - 2) + \log_3(x - 10) \geq 2$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x - 10 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > 10 \end{cases} \iff x > 10. $$ ОДЗ: $x \in (10; +\infty)$. 2. Представим правую часть в виде логарифма: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$. $$ \log_3((x - 2)(x - 10)) \geq \log_3 9. $$ 3. Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастает, следовательно, знак неравенства сохраняется: $$ (x - 2)(x - 10) \geq 9, $$ $$ x^2 - 12x + 20 \geq 9, $$ $$ x^2 - 12x + 11 \geq 0, $$ $$ (x - 1)(x - 11) \geq 0. $$ Решением неравенства является: $$ x \in (-\infty; 1] \cup [11; +\infty). $$ 4. С учетом ОДЗ ($x > 10$): $$ x \in [11; +\infty). $$ **Ответ:** $[11; +\infty)$. --- ### 4) $\log_7 x + \log_7(3x - 8) \geq 1 + 2\log_7 2$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0, \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x > \dfrac{8}{3} \end{cases} \iff x > 2\dfrac{2}{3}. $$ ОДЗ: $x \in \left(\dfrac{8}{3}; +\infty\right)$. 2. Преобразуем правую часть неравенства: $$ 1 + 2\log_7 2 = \log_7 7 + \log_7 2^2 = \log_7 7 + \log_7 4 = \log_7 (7 \cdot 4) = \log_7 28. $$ Левая часть: $$ \log_7 x + \log_7(3x - 8) = \log_7(x(3x - 8)). $$ Получаем неравенство: $$ \log_7(x(3x - 8)) \geq \log_7 28. $$ 3. Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ x(3x - 8) \geq 28, $$ $$ 3x^2 - 8x - 28 \geq 0. $$ Найдем нули квадратного трехчлена с помощью дискриминанта: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 64 + 336 = 400 = 20^2, $$ $$ x_1 = \frac{8 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2, $$ $$ x_2 = \frac{8 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}. $$ Решение квадратного неравенства: $$ x \in (-\infty; -2] \cup \left[4\frac{2}{3}; +\infty\right). $$ 4. Пересечем полученное множество с ОДЗ $\left(x > \dfrac{8}{3}\right)$: $$ x \in \left[4\frac{2}{3}; +\infty\right). $$ **Ответ:** $\left[4\frac{2}{3}; +\infty\right)$.