ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.12

### 1) $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 5x + 7) > 0$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Заменяем $0$ на $\log_{\frac{1}{3}} 1$ и меняем знак неравенства на противоположный, учитывая область допустимых значений: $$ \begin{cases} x^2 - 5x + 7 < 1, \\ x^2 - 5x + 7 > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ x^2 - 5x + 6 < 0 $$ Корни квадратного трехчлена по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. $$ (x - 2)(x - 3) < 0 \iff x \in (2; 3) $$ Для второго неравенства найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент $1 > 0$ и $D < 0$, выражение $x^2 - 5x + 7 > 0$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. Пересечением решений системы является интервал $(2; 3)$. **Ответ:** $(2; 3)$ --- ### 2) $\log_9 (x^2 - 6x + 8) \leq 0,5$ Так как основание логарифма $9 > 1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 \leq 9^{0,5}, \\ x^2 - 6x + 8 > 0. \end{cases} $$ Поскольку $9^{0,5} = \sqrt{9} = 3$, получаем: $$ \begin{cases} x^2 - 6x + 5 \leq 0, \\ x^2 - 6x + 8 > 0. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство: 1. $x^2 - 6x + 5 \leq 0 \iff (x - 1)(x - 5) \leq 0 \iff x \in [1; 5]$. 2. $x^2 - 6x + 8 > 0 \iff (x - 2)(x - 4) > 0 \iff x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$. Находим пересечение промежутков: $$ x \in [1; 2) \cup (4; 5] $$ **Ответ:** $[1; 2) \cup (4; 5]$ --- ### 3) $\log_{0,5} (x^2 + 3x) \geq -2$ Так как основание $0 < 0,5 < 1$, функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $$ \begin{cases} x^2 + 3x \leq (0,5)^{-2}, \\ x^2 + 3x > 0. \end{cases} $$ Так как $(0,5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, система принимает вид: $$ \begin{cases} x^2 + 3x - 4 \leq 0, \\ x^2 + 3x > 0. \end{cases} $$ Решим неравенства: 1. $x^2 + 3x - 4 \leq 0 \iff (x + 4)(x - 1) \leq 0 \iff x \in [-4; 1]$. 2. $x(x + 3) > 0 \iff x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$. Пересекаем полученные решения: $$ x \in [-4; -3) \cup (0; 1] $$ **Ответ:** $[-4; -3) \cup (0; 1]$ --- ### 4) $\log_{0,3} (x^2 - 2x + 1) \geq 0$ Так как основание $0 < 0,3 < 1$, функция убывает: $$ \begin{cases} x^2 - 2x + 1 \leq 0,3^0, \\ x^2 - 2x + 1 > 0. \end{cases} $$ Учитывая, что $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ и $0,3^0 = 1$: $$ \begin{cases} (x - 1)^2 \leq 1, \\ (x - 1)^2 > 0. \end{cases} $$ Решим систему: 1. $(x - 1)^2 \leq 1 \iff |x - 1| \leq 1 \iff -1 \leq x - 1 \leq 1 \iff 0 \leq x \leq 2$, то есть $x \in [0; 2]$. 2. $(x - 1)^2 > 0 \iff x - 1 \neq 0 \iff x \neq 1$. Исключаем точку $x = 1$ из отрезка $[0; 2]$: $$ x \in [0; 1) \cup (1; 2] $$ **Ответ:** $[0; 1) \cup (1; 2]$ --- ### 5) $\log_4 \frac{3x - 1}{x - 1} \leq 1$ Основание логарифма $4 > 1$, функция возрастает: $$ \begin{cases} \dfrac{3x - 1}{x - 1} \leq 4^1, \\ \dfrac{3x - 1}{x - 1} > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{3x - 1}{x - 1} - 4 \leq 0 \iff \frac{3x - 1 - 4(x - 1)}{x - 1} \leq 0 \iff \frac{-x + 3}{x - 1} \leq 0 \iff \frac{x - 3}{x - 1} \geq 0 $$ Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty; 1) \cup [3; +\infty)$. Решим второе неравенство (ОДЗ): $$ \frac{3x - 1}{x - 1} > 0 $$ Нули числителя и знаменателя: $x = \frac{1}{3}$, $x = 1$. Методом интервалов: $x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right) \cup (1; +\infty)$. Находим пересечение решений: $$ x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right) \cup [3; +\infty) $$ **Ответ:** $\left(-\infty; \frac{1}{3}\right) \cup [3; +\infty)$ --- ### 6) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x - 1}{3x + 1} > 1$ Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывает: $$ \begin{cases} \dfrac{2x - 1}{3x + 1} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^1, \\ \dfrac{2x - 1}{3x + 1} > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{2x - 1}{3x + 1} - \frac{1}{2} < 0 \iff \frac{2(2x - 1) - (3x + 1)}{2(3x + 1)} < 0 \iff \frac{x - 3}{2(3x + 1)} < 0 $$ Методом интервалов получаем: $x \in \left(-\frac{1}{3}; 3\right)$. Решим второе неравенство: $$ \frac{2x - 1}{3x + 1} > 0 $$ Нули числителя и знаменателя: $x = \frac{1}{2}$, $x = -\frac{1}{3}$. Методом интервалов: $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$. Находим пересечение: $$ \left(-\frac{1}{3}; 3\right) \cap \left(\left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)\right) = \left(\frac{1}{2}; 3\right) $$ **Ответ:** $\left(\frac{1}{2}; 3\right)$