ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.14

1) $\log_{\frac{2}{3}}(6 - 2x) < \log_{\frac{2}{3}}(x^2 - 2x - 3)$ Поскольку основание логарифма $0 < \frac{2}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 6 - 2x > x^2 - 2x - 3 \\ x^2 - 2x - 3 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $x^2 - 9 < 0$ $(x - 3)(x + 3) < 0 \implies x \in (-3; 3)$. Решим второе неравенство системы: $x^2 - 2x - 3 > 0$ $(x - 3)(x + 1) > 0 \implies x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$. Найдём пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-3; 3) \\ x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) \end{cases} \implies x \in (-3; -1) $$ Ответ: $(-3; -1)$. --- 2) $\log_{0,1}(x^2 - 3x - 4) \geq \log_{0,1}(x + 1)$ Основание логарифма $0 < 0,1 < 1$, следовательно, функция убывает. Перейдём к равносильной системе с учётом области допустимых значений: $$ \begin{cases} x^2 - 3x - 4 \leq x + 1 \\ x^2 - 3x - 4 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $x^2 - 4x - 5 \leq 0$ $(x - 5)(x + 1) \leq 0 \implies x \in [-1; 5]$. Решим второе неравенство системы: $x^2 - 3x - 4 > 0$ $(x - 4)(x + 1) > 0 \implies x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$. Найдём общее решение системы: $$ \begin{cases} x \in [-1; 5] \\ x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \end{cases} \implies x \in (4; 5] $$ Ответ: $(4; 5]$. --- 3) $2\log_2(x + 5) \leq 3 + \log_2(11 + x)$ Преобразуем обе части неравенства, используя свойства логарифмов: $3 = \log_2 2^3 = \log_2 8$ $3 + \log_2(11 + x) = \log_2 8 + \log_2(11 + x) = \log_2(8(11 + x)) = \log_2(88 + 8x)$ $2\log_2(x + 5) = \log_2(x + 5)^2$ при условии $x + 5 > 0$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастает. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} (x + 5)^2 \leq 88 + 8x \\ x + 5 > 0 \\ 11 + x > 0 \end{cases} $$ Преобразуем первое неравенство: $x^2 + 10x + 25 \leq 88 + 8x$ $x^2 + 2x - 63 \leq 0$ Корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 63 = 0$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$ $x_1 = \frac{-2 - 16}{2} = -9$, $x_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 7$ $(x + 9)(x - 7) \leq 0 \implies x \in [-9; 7]$. Учтём условия ОДЗ: $x + 5 > 0 \implies x > -5$ $11 + x > 0 \implies x > -11$ Пересекаем полученные промежутки: $$ \begin{cases} -9 \leq x \leq 7 \\ x > -5 \\ x > -11 \end{cases} \implies -5 < x \leq 7 $$ Ответ: $(-5; 7]$. --- 4) $\lg(2x^2 - 9x + 4) \leq 2\lg(x + 2)$ Преобразуем правую часть: $2\lg(x + 2) = \lg(x + 2)^2$ при условии $x + 2 > 0$. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция возрастает. Составим систему: $$ \begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 \leq (x + 2)^2 \\ 2x^2 - 9x + 4 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $2x^2 - 9x + 4 \leq x^2 + 4x + 4$ $x^2 - 13x \leq 0$ $x(x - 13) \leq 0 \implies x \in [0; 13]$. Решим второе неравенство: $2x^2 - 9x + 4 > 0$ $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$ $x_1 = \frac{9 - 7}{4} = 0,5$, $x_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4$ $2(x - 0,5)(x - 4) > 0 \implies x \in (-\infty; 0,5) \cup (4; +\infty)$. Из третьего условия: $x > -2$. Найдём пересечение всех условий: $$ \begin{cases} x \in [0; 13] \\ x \in (-\infty; 0,5) \cup (4; +\infty) \\ x > -2 \end{cases} \implies x \in [0; 0,5) \cup (4; 13] $$ Ответ: $[0; 0,5) \cup (4; 13]$.