ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.11

1) $\log_8 (x^2 - 4x + 3) \leq 1$ Так как основание логарифма $8 > 1$, логарифмическая функция возрастает. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0, \\ x^2 - 4x + 3 \leq 8^1. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 > 0 \iff (x - 1)(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 \leq 8$; $x^2 - 4x - 5 \leq 0$; $(x + 1)(x - 5) \leq 0 \iff x \in [-1; 5]$. Найдём пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty), \\ x \in [-1; 5], \end{cases} \iff x \in [-1; 1) \cup (3; 5]. $$ Ответ: $[-1; 1) \cup (3; 5]$. --- 2) $\log_{0,5} (x^2 + x) > -1$ Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $$ \begin{cases} x^2 + x > 0, \\ x^2 + x < (0,5)^{-1}. \end{cases} $$ Поскольку $(0,5)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$, получаем: $$ \begin{cases} x(x + 1) > 0, \\ x^2 + x - 2 < 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x(x + 1) > 0 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$. Решим второе неравенство: $(x + 2)(x - 1) < 0 \iff x \in (-2; 1)$. Пересекаем полученные промежутки: $x \in (-2; -1) \cup (0; 1)$. Ответ: $(-2; -1) \cup (0; 1)$. --- 3) $\log_{0,7} (x^2 + 10x + 25) > 0$ Так как основание логарифма $0 < 0,7 < 1$, меняем знак неравенства: $$ \begin{cases} x^2 + 10x + 25 > 0, \\ x^2 + 10x + 25 < (0,7)^0. \end{cases} $$ Преобразуем систему: $$ \begin{cases} (x + 5)^2 > 0, \\ x^2 + 10x + 25 < 1. \end{cases} $$ Квадрат выражения больше нуля при всех $x$, кроме точки, где он обращается в ноль: $x \neq -5$. Решим второе неравенство: $x^2 + 10x + 24 < 0$; $(x + 6)(x + 4) < 0 \iff x \in (-6; -4)$. Исключая точку $x = -5$, получаем: $x \in (-6; -5) \cup (-5; -4)$. Ответ: $(-6; -5) \cup (-5; -4)$. --- 4) $\log_2 (x^2 - 3x) \leq 2$ Основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x^2 - 3x > 0, \\ x^2 - 3x \leq 2^2. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x - 4 \leq 0$; $(x + 1)(x - 4) \leq 0 \iff x \in [-1; 4]$. Пересекаем решения обеих частей: $x \in [-1; 0) \cup (3; 4]$. Ответ: $[-1; 0) \cup (3; 4]$. --- 5) $\log_2 \frac{4x - 5}{4x + 7} > 0$ Так как основание $2 > 1$, неравенство равносильно: $$ \frac{4x - 5}{4x + 7} > 2^0 \iff \frac{4x - 5}{4x + 7} > 1. $$ Условие положительности дроби выполняется автоматически, так как она строго больше $1$. Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{4x - 5}{4x + 7} - 1 > 0; $$ $$ \frac{4x - 5 - (4x + 7)}{4x + 7} > 0; $$ $$ \frac{-12}{4x + 7} > 0. $$ Дробь положительна, а её числитель отрицателен ($-12 < 0$), следовательно, знаменатель должен быть отрицательным: $$ 4x + 7 < 0 \iff 4x < -7 \iff x < -1,75. $$ Ответ: $(-\infty; -1,75)$. --- 6) $\lg \frac{x^2 - 1}{(x - 2)^2} > 0$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, получаем: $$ \frac{x^2 - 1}{(x - 2)^2} > 10^0 \iff \frac{x^2 - 1}{(x - 2)^2} > 1. $$ Перенесём единицу влево: $$ \frac{x^2 - 1 - (x - 2)^2}{(x - 2)^2} > 0; $$ $$ \frac{x^2 - 1 - (x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)^2} > 0; $$ $$ \frac{4x - 5}{(x - 2)^2} > 0. $$ Знаменатель $(x - 2)^2 > 0$ при всех $x \neq 2$. Значит, знак дроби определяется знаком числителя: $$ \begin{cases} 4x - 5 > 0, \\ x \neq 2, \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1,25, \\ x \neq 2. \end{cases} $$ Таким образом, $x \in (1,25; 2) \cup (2; +\infty)$. Ответ: $(1,25; 2) \cup (2; +\infty)$. --- 7) $\log_3 \frac{2x + 5}{x + 1} \leq 1$ Так как основание логарифма $3 > 1$, получаем двойное неравенство: $$ 0 < \frac{2x + 5}{x + 1} \leq 3^1 \iff \begin{cases} \frac{2x + 5}{x + 1} > 0, \\ \frac{2x + 5}{x + 1} \leq 3. \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство методом интервалов: $\frac{2x + 5}{x + 1} > 0 \iff x \in (-\infty; -2,5) \cup (-1; +\infty)$. 2. Решим второе неравенство: $$ \frac{2x + 5}{x + 1} - 3 \leq 0; $$ $$ \frac{2x + 5 - 3(x + 1)}{x + 1} \leq 0; $$ $$ \frac{-x + 2}{x + 1} \leq 0 \iff \frac{x - 2}{x + 1} \geq 0. $$ Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty)$. 3. Найдём пересечение обоих условий: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2,5) \cup (-1; +\infty), \\ x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty). \end{cases} $$ - На луче $(-\infty; -1)$: $(-\infty; -2,5) \cap (-\infty; -1) = (-\infty; -2,5)$; - При $x > -1$: $(-1; +\infty) \cap [2; +\infty) = [2; +\infty)$. Итого: $x \in (-\infty; -2,5) \cup [2; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; -2,5) \cup [2; +\infty)$. --- 8) $\log_4 \frac{3x - 1}{x} \leq 0,5$ Так как основание $4 > 1$, а $4^{0,5} = \sqrt{4} = 2$, неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{3x - 1}{x} > 0, \\ \frac{3x - 1}{x} \leq 2. \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $\frac{3x - 1}{x} > 0 \iff x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$. 2. Решим второе неравенство: $$ \frac{3x - 1}{x} - 2 \leq 0; $$ $$ \frac{3x - 1 - 2x}{x} \leq 0; $$ $$ \frac{x - 1}{x} \leq 0 \iff x \in (0; 1]. $$ 3. Найдём общее решение системы: $$ \left( (-\infty; 0) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right) \right) \cap (0; 1] = \left(\frac{1}{3}; 1\right]. $$ Ответ: $\left(\frac{1}{3}; 1\right]$.