ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.15

1) $\lg x + \lg (x - 3) > 1$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ x - 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x > 3 \end{cases} \iff x > 3 $$ Используя свойство суммы логарифмов и представив $1 = \lg 10$, преобразуем неравенство: $$ \lg (x(x - 3)) > \lg 10 $$ Так как основание логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x(x - 3) > 10 $$ $$ x^2 - 3x - 10 > 0 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (x - 5)(x + 2) > 0 $$ Решением этого неравенства является: $$ x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty) $$ С учетом ОДЗ ($x > 3$): $$ x \in (5; +\infty) $$ Ответ: $(5; +\infty)$. --- 2) $\log_{\frac{1}{3}}(x + 2) + \log_{\frac{1}{3}} x < -1$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 > 0, \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -2, \\ x > 0 \end{cases} \iff x > 0 $$ Представим число $-1$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3$. Преобразуем неравенство: $$ \log_{\frac{1}{3}}(x(x + 2)) < \log_{\frac{1}{3}} 3 $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$ x(x + 2) > 3 $$ $$ x^2 + 2x - 3 > 0 $$ $$ (x + 3)(x - 1) > 0 $$ Отсюда: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) $$ С учетом ОДЗ ($x > 0$): $$ x \in (1; +\infty) $$ Ответ: $(1; +\infty)$. --- 3) $\log_{2} x + \log_{2} (x + 4) < 5$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x + 4 > 0 \end{cases} \iff x > 0 $$ Представим число $5$ как $\log_2 2^5 = \log_2 32$: $$ \log_{2}(x(x + 4)) < \log_{2} 32 $$ Так как основание $2 > 1$, функция возрастает: $$ x(x + 4) < 32 $$ $$ x^2 + 4x - 32 < 0 $$ $$ (x + 8)(x - 4) < 0 $$ $$ x \in (-8; 4) $$ С учетом ОДЗ ($x > 0$): $$ x \in (0; 4) $$ Ответ: $(0; 4)$. --- 4) $\log_{0,1}(x - 5) + \log_{0,1}(x - 2) \geq -1$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 5 > 0, \\ x - 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 5, \\ x > 2 \end{cases} \iff x > 5 $$ Представим $-1$ как $\log_{0,1} (0,1)^{-1} = \log_{0,1} 10$: $$ \log_{0,1}((x - 5)(x - 2)) \geq \log_{0,1} 10 $$ Так как основание $0 < 0,1 < 1$, функция убывает, меняем знак неравенства: $$ (x - 5)(x - 2) \leq 10 $$ $$ x^2 - 7x + 10 \leq 10 $$ $$ x^2 - 7x \leq 0 $$ $$ x(x - 7) \leq 0 $$ $$ x \in [0; 7] $$ С учетом ОДЗ ($x > 5$): $$ x \in (5; 7] $$ Ответ: $(5; 7]$. --- 5) $\log_{6}(5x + 8) + \log_{6}(x + 1) \leq 1 - \log_{6} 3$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 5x + 8 > 0, \\ x + 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1,6, \\ x > -1 \end{cases} \iff x > -1 $$ Преобразуем правую часть неравенства: $1 - \log_6 3 = \log_6 6 - \log_6 3 = \log_6 \left(\frac{6}{3}\right) = \log_6 2$. Неравенство принимает вид: $$ \log_{6}((5x + 8)(x + 1)) \leq \log_{6} 2 $$ Так как основание $6 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ (5x + 8)(x + 1) \leq 2 $$ $$ 5x^2 + 13x + 8 \leq 2 $$ $$ 5x^2 + 13x + 6 \leq 0 $$ Найдем корни уравнения $5x^2 + 13x + 6 = 0$: $$ D = 13^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{-13 - 7}{10} = -2, \quad x_2 = \frac{-13 + 7}{10} = -0,6 $$ Решение квадратного неравенства: $$ x \in [-2; -0,6] $$ С учетом ОДЗ ($x > -1$): $$ x \in (-1; -0,6] $$ Ответ: $(-1; -0,6]$. --- 6) $\log_{3}(1 - x) + \log_{3}(-5x - 2) \geq 2\log_{3} 2 + 1$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 1 - x > 0, \\ -5x - 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 1, \\ 5x < -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 1, \\ x < -0,4 \end{cases} \iff x < -0,4 $$ Преобразуем правую часть неравенства: $2\log_3 2 + 1 = \log_3 2^2 + \log_3 3 = \log_3 4 + \log_3 3 = \log_3 (4 \cdot 3) = \log_3 12$. Неравенство принимает вид: $$ \log_{3}((1 - x)(-5x - 2)) \geq \log_{3} 12 $$ Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ (1 - x)(-5x - 2) \geq 12 $$ $$ -5x - 2 + 5x^2 + 2x \geq 12 $$ $$ 5x^2 - 3x - 14 \geq 0 $$ Найдем корни уравнения $5x^2 - 3x - 14 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289 = 17^2 $$ $$ x_1 = \frac{3 - 17}{10} = -1,4, \quad x_2 = \frac{3 + 17}{10} = 2 $$ Решение квадратного неравенства: $$ x \in (-\infty; -1,4] \cup [2; +\infty) $$ С учетом ОДЗ ($x < -0,4$): $$ x \in (-\infty; -1,4] $$ Ответ: $(-\infty; -1,4]$.