ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.9

1) $\log_{\frac{1}{4}}(x+1) > -\frac{3}{2}$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{4} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Перейдём к равносильной системе неравенств с изменением знака на противоположный: $$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 1 < \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} \end{cases} $$ Вычислим значение степени: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8 $$ Подставим полученное значение в систему: $$ \begin{cases} x > -1, \\ x + 1 < 8 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1, \\ x < 7 \end{cases} \iff x \in (-1; 7) $$ Целыми решениями являются числа $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Наибольшее целое решение: $6$. 2) $\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > 2$ Так как основание логарифма $\sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $$ 12 - x^2 > (\sqrt{3})^2 $$ Условие $12 - x^2 > 0$ выполняется автоматически, так как $(\sqrt{3})^2 = 3 > 0$. Решим неравенство: $$ 12 - x^2 > 3 $$ $$ 9 - x^2 > 0 $$ $$ x^2 - 9 < 0 $$ $$ (x - 3)(x + 3) < 0 \iff x \in (-3; 3) $$ Целыми решениями являются числа $-2, -1, 0, 1, 2$. Наибольшее целое решение: $2$. 3) $\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > -1$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, функция убывает. Перейдём к системе неравенств: $$ \begin{cases} 3 - x > 0, \\ 3 - x < \left(\dfrac{1}{7}\right)^{-1} \end{cases} $$ Так как $\left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = 7$, получаем: $$ \begin{cases} -x > -3, \\ 3 - x < 7 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 3, \\ -x < 4 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 3, \\ x > -4 \end{cases} \iff x \in (-4; 3) $$ Целыми решениями являются числа $-3, -2, -1, 0, 1, 2$. Наибольшее целое решение: $2$. 4) $\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция убывает. Учитывая область определения логарифмов и меняя знак неравенства, получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} 2x - 5 > 0, \\ x + 1 > 0, \\ 2x - 5 < x + 1 \end{cases} $$ Неравенство $x + 1 > 0$ выполняется автоматически в силу условий $x + 1 > 2x - 5 > 0$. Решим оставшиеся неравенства: $$ \begin{cases} 2x > 5, \\ 2x - x < 1 + 5 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2,5, \\ x < 6 \end{cases} \iff x \in (2,5; 6) $$ Целыми решениями являются числа $3, 4, 5$. Наибольшее целое решение: $5$. Ответ: 1) $6$; 2) $2$; 3) $2$; 4) $5$.