ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.7

1) $\log_2 (3^{5x-3} + 1) = 2$ По определению логарифма: $$ 3^{5x-3} + 1 = 2^2 $$ $$ 3^{5x-3} + 1 = 4 $$ $$ 3^{5x-3} = 3^1 $$ Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $$ 5x - 3 = 1 $$ $$ 5x = 4 $$ $$ x = 0{,}8 $$ Поскольку $3^{5x-3} + 1 > 0$ при любых действительных значениях $x$, найденный корень удовлетворяет области допустимых значений уравнения. Ответ: $0{,}8$. --- 2) $\log_3 (3^{x-1} + 6) = x$ По определению логарифма: $$ 3^{x-1} + 6 = 3^x $$ Используем свойство степени $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$: $$ \frac{1}{3} \cdot 3^x + 6 = 3^x $$ $$ 3^x - \frac{1}{3} \cdot 3^x = 6 $$ $$ \frac{2}{3} \cdot 3^x = 6 $$ $$ 3^x = 6 \cdot \frac{3}{2} $$ $$ 3^x = 9 $$ $$ 3^x = 3^2 $$ $$ x = 2 $$ Так как $3^x = 3^2 = 9 > 0$, условие $3^{x-1} + 6 > 0$ выполняется. Ответ: $2$. --- 3) $\log_2 (2^x + 7) = 3 - x$ По определению логарифма: $$ 2^x + 7 = 2^{3-x} $$ $$ 2^x + 7 = \frac{2^3}{2^x} $$ $$ 2^x + 7 = \frac{8}{2^x} $$ Пусть $2^x = t$, где $t > 0$. Получаем уравнение: $$ t + 7 = \frac{8}{t} $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 + 7t - 8 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = -8$. Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Вернемся к замене: $$ 2^x = 1 $$ $$ 2^x = 2^0 $$ $$ x = 0 $$ Ответ: $0$. --- 4) $\log_6 (6^{-x} - 5) = x + 1$ По определению логарифма: $$ 6^{-x} - 5 = 6^{x+1} $$ $$ 6^{-x} - 5 = 6 \cdot 6^x $$ Пусть $6^x = t$, где $t > 0$. Тогда $6^{-x} = \frac{1}{t}$: $$ \frac{1}{t} - 5 = 6t $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ 1 - 5t = 6t^2 $$ $$ 6t^2 + 5t - 1 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$ $$ t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1 $$ Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Вернемся к замене: $$ 6^x = \frac{1}{6} $$ $$ 6^x = 6^{-1} $$ $$ x = -1 $$ Ответ: $-1$.