ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.6

1) $\log_3 \frac{1}{x} + \log_3 \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$: $$ \log_3 \left( \frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{x} \right) = \frac{4}{3} $$ Запишем выражение под знаком логарифма в виде степени с основанием $x$: $\frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{-1} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{-1 + \frac{1}{3}} = x^{-\frac{2}{3}}$. Получаем уравнение: $$ \log_3 x^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} $$ По определению логарифма: $$ x^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} $$ Возведем обе части уравнения в степень $-\frac{3}{2}$: $$ \left( x^{-\frac{2}{3}} \right)^{-\frac{3}{2}} = \left( 3^{\frac{4}{3}} \right)^{-\frac{3}{2}} $$ $$ x = 3^{\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} = 3^{-2} = \frac{1}{9} $$ Значение $x = \frac{1}{9}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\frac{1}{9}$. --- 2) $\log_5 x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Приведем все логарифмы к основанию $5$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: * $\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x$; * $\log_{625} x = \log_{5^4} x = \frac{1}{4} \log_5 x$. Подставим полученные выражения в уравнение: $$ \log_5 x - \frac{1}{2}\log_5 x + \frac{1}{4}\log_5 x = \frac{3}{4} $$ Вынесем $\log_5 x$ за скобки: $$ \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \log_5 x = \frac{3}{4} $$ $$ \frac{3}{4} \log_5 x = \frac{3}{4} $$ Разделим обе части на $\frac{3}{4}$: $$ \log_5 x = 1 $$ По определению логарифма: $$ x = 5^1 = 5 $$ Значение $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $5$. --- 3) $\lg \lg \lg x = 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0 \\ \lg x > 0 \\ \lg \lg x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \\ \lg x > 1 \end{cases} \iff x > 10 $$ Последовательно применим определение десятичного логарифма: $$ \lg(\lg \lg x) = 0 \implies \lg \lg x = 10^0 = 1 $$ $$ \lg x = 10^1 = 10 $$ $$ x = 10^{10} $$ Значение $x = 10^{10}$ удовлетворяет ОДЗ ($10^{10} > 10$). Ответ: $10^{10}$.