ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.5

### 1) $\log_2 \sqrt{x} - \log_2 \frac{1}{x} = 6$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Используем свойства логарифма: $\log_2 \sqrt{x} = \log_2 x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_2 x$ $\log_2 \frac{1}{x} = \log_2 x^{-1} = -\log_2 x$ Подставим эти выражения в исходное уравнение: $$ \frac{1}{2}\log_2 x - (-\log_2 x) = 6 $$ $$ \frac{1}{2}\log_2 x + \log_2 x = 6 $$ $$ \frac{3}{2}\log_2 x = 6 $$ $$ \log_2 x = 6 \cdot \frac{2}{3} $$ $$ \log_2 x = 4 $$ По определению логарифма: $$ x = 2^4 = 16 $$ Значение $x = 16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$). Ответ: $16$. --- ### 2) $\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11$ ОДЗ: $x > 0$. Приведем все логарифмы к основанию $2$, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2}\log_2 x$ $\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3}\log_2 x$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 x + \frac{1}{3}\log_2 x = 11 $$ Вынесем $\log_2 x$ за скобки: $$ \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)\log_2 x = 11 $$ $$ \frac{6 + 3 + 2}{6}\log_2 x = 11 $$ $$ \frac{11}{6}\log_2 x = 11 $$ Разделим обе части уравнения на $\frac{11}{6}$: $$ \log_2 x = 6 $$ По определению логарифма: $$ x = 2^6 = 64 $$ Значение $x = 64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$). Ответ: $64$. --- ### 3) $\log_6 x + 2\log_{36} x + 3\log_{216} x = 3$ ОДЗ: $x > 0$. Приведем логарифмы к основанию $6$: $2\log_{36} x = 2\log_{6^2} x = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_6 x = \log_6 x$ $3\log_{216} x = 3\log_{6^3} x = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_6 x = \log_6 x$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ \log_6 x + \log_6 x + \log_6 x = 3 $$ $$ 3\log_6 x = 3 $$ $$ \log_6 x = 1 $$ По определению логарифма: $$ x = 6^1 = 6 $$ Значение $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 > 0$). Ответ: $6$. --- ### 4) $\log_7 \log_4 (x-2) = 0$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ \log_4 (x - 2) > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x - 2 > 1 \end{cases} \iff x > 3 $$ Применим определение логарифма к внешнему логарифму: $$ \log_4 (x - 2) = 7^0 $$ $$ \log_4 (x - 2) = 1 $$ Применим определение логарифма еще раз: $$ x - 2 = 4^1 $$ $$ x - 2 = 4 $$ $$ x = 6 $$ Значение $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 > 3$). Ответ: $6$. --- ### 5) $\log_4 \log_3 \log_2 x = \frac{1}{2}$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0, \\ \log_2 x > 0, \\ \log_3 \log_2 x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x > 1, \\ \log_2 x > 1 \end{cases} \iff x > 2 $$ Последовательно применяем определение логарифма от внешнего к внутреннему: $$ \log_3 \log_2 x = 4^{\frac{1}{2}} $$ Так как $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$, получаем: $$ \log_3 \log_2 x = 2 $$ $$ \log_2 x = 3^2 $$ $$ \log_2 x = 9 $$ $$ x = 2^9 = 512 $$ Значение $x = 512$ удовлетворяет ОДЗ ($512 > 2$). Ответ: $512$.