ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.9

1) $\lg(x^2 - 2x) = \lg(2x + 12)$ Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 2x = 2x + 12, \\ 2x + 12 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 - 4x - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 6$, $x_2 = -2$. Проверим условие $2x + 12 > 0$: - при $x = 6$: $2 \cdot 6 + 12 = 24 > 0$ — верно; - при $x = -2$: $2 \cdot (-2) + 12 = 8 > 0$ — верно. Оба корня удовлетворяют условию. Ответ: $-2; 6$. --- 2) $\log_4(x - 1) = \log_4(x^2 - x - 16)$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x - 1 = x^2 - x - 16, \\ x - 1 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 - 2x - 15 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$. Проверим условие $x - 1 > 0$ ($x > 1$): - при $x = 5$: $5 > 1$ — верно; - при $x = -3$: $-3 > 1$ — неверно (посторонний корень). Ответ: $5$. --- 3) $\log_{0,5}(x^2 + 3x - 10) = \log_{0,5}(x - 2)$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + 3x - 10 = x - 2, \\ x - 2 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Проверим условие $x - 2 > 0$ ($x > 2$): - при $x = -4$: $-4 > 2$ — неверно; - при $x = 2$: $2 > 2$ — неверно (значение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля). Оба корня являются посторонними. Ответ: корней нет. --- 4) $\log_6(x^2 - x - 2) = \log_6(2 - x)$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - x - 2 = 2 - x, \\ 2 - x > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 - 4 = 0 $$ $$ x^2 = 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ Проверим условие $2 - x > 0$ ($x < 2$): - при $x = 2$: $2 < 2$ — неверно (посторонний корень); - при $x = -2$: $-2 < 2$ — верно. Ответ: $-2$. --- 5) $2\log_{0,4}x = \log_{0,4}(2x^2 - x)$ Используем свойство логарифма $2\log_a x = \log_a (x^2)$ при $x > 0$: $$ \begin{cases} x^2 = 2x^2 - x, \\ x > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 - x = 0 $$ $$ x(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ Проверим условие $x > 0$: - при $x = 0$: $0 > 0$ — неверно (посторонний корень); - при $x = 1$: $1 > 0$ — верно (при этом $2x^2 - x = 2 \cdot 1^2 - 1 = 1 > 0$). Ответ: $1$. --- 6) $2\log_7(-x) = \log_7(x + 2)$ Используем свойство логарифма $2\log_a(-x) = \log_a((-x)^2)$ при $-x > 0$: $$ \begin{cases} (-x)^2 = x + 2, \\ -x > 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases} $$ Преобразуем систему: $$ \begin{cases} x^2 - x - 2 = 0, \\ -2 < x < 0 \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Проверим принадлежность промежутку $(-2; 0)$: - $x = 2 \notin (-2; 0)$ — посторонний корень; - $x = -1 \in (-2; 0)$ — подходит. Ответ: $-1$. --- 7) $2\log_8(1 - x) = \log_8(2,5x + 1)$ Преобразуем левую часть уравнения: $$ \begin{cases} (1 - x)^2 = 2,5x + 1, \\ 1 - x > 0, \\ 2,5x + 1 > 0 \end{cases} $$ Раскроем скобки в уравнении: $$ 1 - 2x + x^2 = 2,5x + 1 $$ $$ x^2 - 4,5x = 0 $$ $$ x(x - 4,5) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 4,5 $$ Ограничения на переменную: $x < 1$ и $x > -0,4$, то есть $x \in (-0,4; 1)$. Проверим корни: - $x = 0 \in (-0,4; 1)$ — подходит; - $x = 4,5 \notin (-0,4; 1)$ — посторонний корень. Ответ: $0$. --- 8) $2\log_3x = 1 + \log_3(x + 6)$ Область допустимых значений: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x + 6 > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ Представим $1$ как $\log_3 3$ и применим свойства логарифмов: $$ \log_3(x^2) = \log_3 3 + \log_3(x + 6) $$ $$ \log_3(x^2) = \log_3(3(x + 6)) $$ Приравниваем подлогарифмические выражения: $$ x^2 = 3(x + 6) $$ $$ x^2 - 3x - 18 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 6$, $x_2 = -3$. С учётом ОДЗ ($x > 0$): - $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень); - $x = 6 > 0$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $6$.