ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.8

1) $\log_6 (6^{x+1} - 30) = x$ По определению логарифма: $$ 6^{x+1} - 30 = 6^x $$ Так как $6^x > 0$ при любых действительных значениях $x$, выражение под знаком логарифма автоматически строго положительно. Преобразуем уравнение, используя свойство степени $6^{x+1} = 6 \cdot 6^x$: $$ 6 \cdot 6^x - 30 = 6^x $$ $$ 6 \cdot 6^x - 6^x = 30 $$ $$ 5 \cdot 6^x = 30 $$ $$ 6^x = 6 $$ $$ 6^x = 6^1 $$ $$ x = 1 $$ Проверка: $\log_6 (6^{1+1} - 30) = \log_6 (36 - 30) = \log_6 6 = 1$. Равенство верно. Ответ: $1$. --- 2) $\log_5 (6 - 5^x) = 1 - x$ По определению логарифма: $$ 6 - 5^x = 5^{1 - x} $$ Так как $5^{1-x} > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, условие $6 - 5^x > 0$ выполняется автоматически. Используя свойство степени $5^{1-x} = \frac{5}{5^x}$, запишем уравнение в виде: $$ 6 - 5^x = \frac{5}{5^x} $$ Пусть $5^x = t$, где $t > 0$: $$ 6 - t = \frac{5}{t} $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ 6t - t^2 = 5 $$ $$ t^2 - 6t + 5 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 5 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной: 1) $5^x = 1$ $5^x = 5^0$ $x_1 = 0$ 2) $5^x = 5$ $5^x = 5^1$ $x_2 = 1$ Проверка: При $x = 0$: $\log_5 (6 - 5^0) = \log_5 (6 - 1) = \log_5 5 = 1$; справа: $1 - 0 = 1$. Верно. При $x = 1$: $\log_5 (6 - 5^1) = \log_5 (6 - 5) = \log_5 1 = 0$; справа: $1 - 1 = 0$. Верно. Ответ: $0$; $1$.