ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.4

**1)** $\log_9 (4x - 6) = \log_9 (x - 2)$ Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} 4x - 6 = x - 2, \\ x - 2 > 0. \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ 4x - x = 6 - 2 $$ $$ 3x = 4 $$ $$ x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Проверим условие допустимых значений: $$ x - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} < 0 $$ Условие $x - 2 > 0$ не выполняется, следовательно, $x = \frac{4}{3}$ — посторонний корень. Ответ: корней нет. --- **2)** $\log_{\frac{1}{4}} (x + 7) = \log_{\frac{1}{4}} (x^2 + 5)$ Так как основания логарифмов равны, приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма, учитывая область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 7 = x^2 + 5, \\ x + 7 > 0. \end{cases} $$ (Заметим, что неравенство $x^2 + 5 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $x$). Решим уравнение: $$ x^2 - x + 5 - 7 = 0 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1, \\ x_1 \cdot x_2 = -2. \end{cases} $$ Отсюда получаем корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Проверим выполнение условия $x + 7 > 0$: - при $x = -1$: $-1 + 7 = 6 > 0$ — верно; - при $x = 2$: $2 + 7 = 9 > 0$ — верно. Оба найденных значения являются корнями уравнения. Ответ: $-1$; $2$.