ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.10

1) $\log_6 (9 - x^2) = \log_6 (1 - 2x)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 9 - x^2 > 0, \\ 1 - 2x > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 < 9, \\ 2x < 1; \end{cases} \implies \begin{cases} -3 < x < 3, \\ x < 0,5. \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3; 0,5)$. Так как основания логарифмов равны, приравняем подлогарифмические выражения: $$ 9 - x^2 = 1 - 2x $$ $$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -2 $$ Проверим корни с учетом ОДЗ: * $x = 4$ не входит в ОДЗ ($4 > 0,5$), значит, это посторонний корень; * $x = -2$ входит в ОДЗ ($-3 < -2 < 0,5$). Ответ: $-2$. --- 2) $\lg (x^2 + 2x - 3) = \lg (2x^2 - 2)$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 + 2x - 3 > 0, \\ 2x^2 - 2 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} (x + 3)(x - 1) > 0, \\ x^2 - 1 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty), \\ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty). \end{cases} $$ Общая область допустимых значений: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. Приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^2 + 2x - 3 = 2x^2 - 2 $$ $$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$ $$ (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1 $$ Проверим корень по ОДЗ: значение $x = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как при $x = 1$ выражение под знаком логарифма обращается в ноль ($1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 0$), а логарифм нуля не определен. Ответ: корней нет. --- 3) $\log_{0,7} (2x^2 - 9x + 4) = 2\log_{0,7} (x + 2)$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 > 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases} $$ Найдем нули квадратного трехчлена $2x^2 - 9x + 4 = 0$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$, $x = \dfrac{9 \pm 7}{4} \implies x_1 = 4, \; x_2 = 0,5$. Получаем: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; 0,5) \cup (4; +\infty), \\ x > -2. \end{cases} $$ Значит, ОДЗ: $x \in (-2; 0,5) \cup (4; +\infty)$. Преобразуем правую часть уравнения, внеся множитель $2$ в показатель степени: $$ \log_{0,7} (2x^2 - 9x + 4) = \log_{0,7} (x + 2)^2 $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ 2x^2 - 9x + 4 = (x + 2)^2 $$ $$ 2x^2 - 9x + 4 = x^2 + 4x + 4 $$ $$ x^2 - 13x = 0 $$ $$ x(x - 13) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 13 $$ Проверим соответствие корней ОДЗ: * $x = 0 \in (-2; 0,5)$ — является корнем; * $x = 13 \in (4; +\infty)$ — является корнем. Ответ: $0; \; 13$. --- 4) $2\log_2 (-x) - \log_2 (3x + 8) = 1$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} -x > 0, \\ 3x + 8 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ x > -\dfrac{8}{3}. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in \left(-\dfrac{8}{3}; 0\right)$. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов: $$ \log_2 ((-x)^2) - \log_2 (3x + 8) = \log_2 2 $$ $$ \log_2 \left(\frac{x^2}{3x + 8}\right) = \log_2 2 $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ \frac{x^2}{3x + 8} = 2 $$ Так как $3x + 8 > 0$ на ОДЗ, умножим обе части уравнения на $(3x + 8)$: $$ x^2 = 2(3x + 8) $$ $$ x^2 - 6x - 16 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни: $$ x_1 = 8, \quad x_2 = -2 $$ Проверим корни с учетом ОДЗ: * $x = 8$ не входит в ОДЗ ($8 > 0$), следовательно, является посторонним корнем; * $x = -2$ входит в ОДЗ, так как $-\dfrac{8}{3} < -2 < 0$. Ответ: $-2$.