ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.3

1) $\log_{\pi}(x + 1) = \log_{\pi}(4x - 5)$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 1 = 4x - 5, \\ x + 1 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x - 4x = -5 - 1 $$ $$ -3x = -6 $$ $$ x = 2 $$ Проверим условие существования логарифма: $$ 2 + 1 = 3 > 0 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $2$. --- 2) $\log_{5}(3x - 5) = \log_{5}(x - 3)$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 3x - 5 = x - 3, \\ x - 3 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ 3x - x = 5 - 3 $$ $$ 2x = 2 $$ $$ x = 1 $$ Проверим условие: $$ 1 - 3 = -2 \ngtr 0 \quad \text{— не удовлетворяет условию.} $$ Следовательно, уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. --- 3) $\lg(x^2 + 2) = \lg(3x + 6)$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + 2 = 3x + 6, \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} $$ Заметим, что выражение $x^2 + 2 > 0$ при любых действительных значениях $x$. Решим уравнение системы: $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3, \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 4 $$ Проверим условие $3x + 6 > 0$, то есть $x > -2$: Для $x_1 = -1$: $$ -1 > -2 \quad \text{— верно.} $$ Для $x_2 = 4$: $$ 4 > -2 \quad \text{— верно.} $$ Оба найденных значения являются корнями уравнения. Ответ: $-1$; $4$.