ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.37

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$: 1. Выражение под корнем $\sqrt{a-1}$ должно быть неотрицательным: $a - 1 \ge 0 \implies a \ge 1$. 2. Знаменатели дробей не равны нулю: $a - 2\sqrt{a-1} \ne 0 \iff (\sqrt{a-1}-1)^2 \ne 0 \iff \sqrt{a-1} \ne 1 \iff a \ne 2$. $a^2 - 4a + 4 \ne 0 \iff (a-2)^2 \ne 0 \iff a \ne 2$. Таким образом, ОДЗ: $a \in [1; 2) \cup (2; +\infty)$. Преобразуем выражения под знаками корней, выделив полные квадраты: $$ a - 2\sqrt{a-1} = (a-1) - 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1} - 1)^2 $$ $$ a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1} + 1)^2 $$ $$ a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2 $$ Подставим эти преобразования в исходное выражение: $$ \sqrt{\frac{(\sqrt{a-1} - 1)^2}{(\sqrt{a-1} + 1)^2}} + \sqrt{\frac{(\sqrt{a-1} + 1)^2}{(\sqrt{a-1} - 1)^2}} - \frac{4}{\sqrt{(a-2)^2}} $$ Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ и учитывая, что $\sqrt{a-1} + 1 > 0$ при всех $a \ge 1$, получаем: $$ \frac{|\sqrt{a-1} - 1|}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{\sqrt{a-1} + 1}{|\sqrt{a-1} - 1|} - \frac{4}{|a - 2|} $$ Рассмотрим два случая раскрытия модулей в соответствии с ОДЗ: **1. Случай $1 \le a < 2$:** В этом случае $0 \le a - 1 < 1$, следовательно, $\sqrt{a-1} < 1$, то есть: $|\sqrt{a-1} - 1| = 1 - \sqrt{a-1}$. Также $a - 2 < 0$, поэтому: $|a - 2| = -(a - 2) = 2 - a$. Сложим первые две дроби: $$ \frac{1 - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{\sqrt{a-1} + 1}{1 - \sqrt{a-1}} = \frac{(1 - \sqrt{a-1})^2 + (\sqrt{a-1} + 1)^2}{(1 - \sqrt{a-1})(1 + \sqrt{a-1})} $$ Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{(1 - 2\sqrt{a-1} + a - 1) + (a - 1 + 2\sqrt{a-1} + 1)}{1 - (a - 1)} = \frac{2a}{2 - a} $$ Вычтем третью дробь: $$ \frac{2a}{2 - a} - \frac{4}{2 - a} = \frac{2a - 4}{2 - a} = \frac{-2(2 - a)}{2 - a} = -2 $$ **2. Случай $a > 2$:** В этом случае $a - 1 > 1$, следовательно, $\sqrt{a-1} > 1$, то есть: $|\sqrt{a-1} - 1| = \sqrt{a-1} - 1$. Также $a - 2 > 0$, поэтому: $|a - 2| = a - 2$. Сложим первые две дроби: $$ \frac{\sqrt{a-1} - 1}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{\sqrt{a-1} + 1}{\sqrt{a-1} - 1} = \frac{(\sqrt{a-1} - 1)^2 + (\sqrt{a-1} + 1)^2}{(\sqrt{a-1} - 1)(\sqrt{a-1} + 1)} $$ $$ \frac{(a - 1 - 2\sqrt{a-1} + 1) + (a - 1 + 2\sqrt{a-1} + 1)}{(a - 1) - 1} = \frac{2a}{a - 2} $$ Вычтем третью дробь: $$ \frac{2a}{a - 2} - \frac{4}{a - 2} = \frac{2a - 4}{a - 2} = \frac{2(a - 2)}{a - 2} = 2 $$ Ответ: $-2$ при $1 \le a < 2$; $2$ при $a > 2$.