ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.1

1) $\log_2 (x - 1) = 1$ По определению логарифма: $$ x - 1 = 2^1 $$ $$ x - 1 = 2 $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $3$. 2) $\log_3 (2x + 1) = 3$ По определению логарифма: $$ 2x + 1 = 3^3 $$ $$ 2x + 1 = 27 $$ $$ 2x = 26 $$ $$ x = 13 $$ Ответ: $13$. 3) $\lg (3 - 2x) = 2$ По определению десятичного логарифма: $$ 3 - 2x = 10^2 $$ $$ 3 - 2x = 100 $$ $$ -2x = 97 $$ $$ x = -48{,}5 $$ Ответ: $-48{,}5$. 4) $\log_{\frac{1}{6}} (4x - 8) = -2$ По определению логарифма: $$ 4x - 8 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} $$ $$ 4x - 8 = 6^2 $$ $$ 4x - 8 = 36 $$ $$ 4x = 44 $$ $$ x = 11 $$ Ответ: $11$. 5) $\log_7 (x^2 - 2x - 8) = 1$ По определению логарифма: $$ x^2 - 2x - 8 = 7^1 $$ $$ x^2 - 2x - 15 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 x_2 = -15 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ x_1 = 5, \quad x_2 = -3 $$ Ответ: $-3$; $5$. 6) $\log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 4x - 5) = -4$ По определению логарифма: $$ x^2 + 4x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} $$ $$ x^2 + 4x - 5 = 2^4 $$ $$ x^2 + 4x - 5 = 16 $$ $$ x^2 + 4x - 21 = 0 $$ Найдем корни по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 x_2 = -21 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -7 $$ Ответ: $-7$; $3$.