ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.35

### 1) $y = \left| \log_{\frac{1}{2}} x \right|$ 1. **Область определения функции:** Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ D(y) = (0; +\infty) $$ 2. **Анализ и преобразование:** График функции вида $y = |f(x)|$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: - часть графика, расположенная выше оси $Ox$ или на ней ($y \ge 0$), сохраняется без изменений; - часть графика, расположенная ниже оси $Ox$ ($y < 0$), зеркально отражается относительно оси $Ox$ вверх (в верхнюю полуплоскость). Раскроем модуль по определению: - Нуль функции: $\log_{\frac{1}{2}} x = 0 \implies x = 1$. - Если $0 < x \le 1$, то $\log_{\frac{1}{2}} x \ge 0$, следовательно, $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. - Если $x > 1$, то $\log_{\frac{1}{2}} x < 0$, следовательно, $y = -\log_{\frac{1}{2}} x = \log_2 x$. 3. **Опорные точки:** - при $x = \frac{1}{4}$: $y = \left| \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} \right| = |2| = 2$; - при $x = \frac{1}{2}$: $y = \left| \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \right| = |1| = 1$; - при $x = 1$: $y = |0| = 0$; - при $x = 2$: $y = \left| \log_{\frac{1}{2}} 2 \right| = |-1| = 1$; - при $x = 4$: $y = \left| \log_{\frac{1}{2}} 4 \right| = |-2| = 2$. 4. **Описание графика:** График состоит из двух ветвей, сходящихся в точке $(1; 0)$ на оси $Ox$: - слева от $x = 1$ график круто поднимается вверх вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$ (оси $Oy$); - справа от $x = 1$ график плавно возрастает вверх при $x \to +\infty$. --- ### 2) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$ 1. **Область определения функции:** Подкоренное выражение модуля должно быть строго больше нуля: $$ |x| > 0 \iff x \ne 0 $$ $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Симметрия (чётность):** $$ f(-x) = \log_{\frac{1}{2}} |-x| = \log_{\frac{1}{2}} |x| = f(x) $$ Функция является чётной, значит, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Построение:** - Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ (убывающая логарифмическая кривая с основанием меньше единицы). - Для $x < 0$ график достраивается симметричным отображением правой части относительно оси $Oy$. 4. **Опорные точки:** - для $x > 0$: $\left(\frac{1}{2}; 1\right)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$, $(4; -2)$; - для $x < 0$: $\left(-\frac{1}{2}; 1\right)$, $(-1; 0)$, $(-2; -1)$, $(-4; -2)$. Ось $Oy$ ($x = 0$) является двусторонней вертикальной асимптотой: при $x \to 0$ значения $y \to +\infty$. --- ### 3) $y = \frac{\left| \log_{0,2} x \right|}{\log_{0,2} x}$ 1. **Область определения функции:** Выражение под знаком логарифма должно быть положительным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ \begin{cases} x > 0, \\ \log_{0,2} x \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1 \end{cases} $$ $$ D(y) = (0; 1) \cup (1; +\infty) $$ 2. **Упрощение функции:** Используем свойство логарифма с основанием $0{,}2 = \frac{1}{5} < 1$: - Если $0 < x < 1$, то $\log_{0,2} x > 0$. Тогда $|\log_{0,2} x| = \log_{0,2} x$, и функция принимает вид: $$ y = \frac{\log_{0,2} x}{\log_{0,2} x} = 1 $$ - Если $x > 1$, то $\log_{0,2} x < 0$. Тогда $|\log_{0,2} x| = -\log_{0,2} x$, и функция принимает вид: $$ y = \frac{-\log_{0,2} x}{\log_{0,2} x} = -1 $$ 3. **Описание графика:** График представляет собой две горизонтальные линии с выколотыми точками: - горизонтальный интервал $y = 1$ при $x \in (0; 1)$ с выколотыми концами в точках $(0; 1)$ и $(1; 1)$; - горизонтальный луч $y = -1$ при $x \in (1; +\infty)$ с выколотой начальной точкой $(1; -1)$. --- ### 4) $y = \sqrt{\log_3^2 x \log_x 3}$ 1. **Область определения функции:** Учитываем ограничения на аргумент и основание логарифмов, а также условие неотрицательности подкоренного выражения: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1, \\ \log_3^2 x \cdot \log_x 3 \ge 0 \end{cases} $$ Применим формулу перехода к новому основанию $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$: $$ \log_3^2 x \cdot \log_x 3 = \log_3^2 x \cdot \frac{1}{\log_3 x} = \log_3 x $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ \log_3 x \ge 0 \iff x \ge 1 $$ С учетом условия $x \ne 1$, получаем область определения: $$ D(y) = (1; +\infty) $$ 2. **Упрощение функции:** На области определения $x \in (1; +\infty)$: $$ y = \sqrt{\log_3 x} $$ 3. **Опорные точки:** - при $x \to 1+$, $y \to 0$ (точка $(1; 0)$ — выколотая, график начинается из неё); - при $x = 3$: $y = \sqrt{\log_3 3} = \sqrt{1} = 1$; - при $x = 9$: $y = \sqrt{\log_3 9} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$; - при $x = 27$: $y = \sqrt{\log_3 27} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$; - при $x = 81$: $y = \sqrt{\log_3 81} = \sqrt{4} = 2$. 4. **Описание графика:** График представляет собой плавную монотонно возрастающую кривую, выходящую из «выколотой» точки $(1; 0)$ и неограниченно возрастающую вправо в первой координатной четверти.