ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.34

1) \( y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)} \) Функция определена при условиях: выражение под знаком логарифма строго положительно, а знаменатель дроби не равен нулю. $$ \begin{cases} x^2 + 1 > 0, \\ \lg(x^2 + 1) \neq 0 \end{cases} $$ Неравенство $x^2 + 1 > 0$ верно при всех $x \in \mathbb{R}$, так как $x^2 \ge 0$. Решим второе условие: $$ \lg(x^2 + 1) \neq 0 \iff x^2 + 1 \neq 10^0 \iff x^2 + 1 \neq 1 \iff x^2 \neq 0 \iff x \neq 0 $$ Таким образом, $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. **Ответ:** $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. --- 2) \( y = \lg(1 + \sin x) \) Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ 1 + \sin x > 0 \iff \sin x > -1 $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $-1 \le \sin x \le 1$, то условие $\sin x > -1$ выполняется во всех точках, кроме тех, где $\sin x = -1$: $$ \sin x = -1 \iff x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 3) \( y = \sqrt{\lg(1 + x^2)} \) Подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным: $$ \begin{cases} 1 + x^2 > 0, \\ \lg(1 + x^2) \ge 0 \end{cases} $$ Так как $x^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, то $1 + x^2 \ge 1 > 0$, первое условие выполнено всегда. Решим второе неравенство: $$ \lg(1 + x^2) \ge 0 \iff 1 + x^2 \ge 10^0 \iff 1 + x^2 \ge 1 \iff x^2 \ge 0 $$ Неравенство $x^2 \ge 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$. **Ответ:** $(-\infty; +\infty)$. --- 4) \( y = \sqrt{\lg \sin x} \) Составим систему условий: $$ \begin{cases} \sin x > 0, \\ \lg \sin x \ge 0 \end{cases} $$ Решим второе неравенство системы: $$ \lg \sin x \ge 0 \iff \sin x \ge 10^0 \iff \sin x \ge 1 $$ Учитывая, что по свойствам синуса $\sin x \le 1$, получаем равенство: $$ \sin x = 1 $$ При этом условие $\sin x > 0$ выполняется автоматически. $$ \sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 5) \( y = \lg(x + 8) - \frac{5}{\lg(-x - 1)} \) Составим систему ограничений: $$ \begin{cases} x + 8 > 0, \\ -x - 1 > 0, \\ \lg(-x - 1) \neq 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1. $x + 8 > 0 \iff x > -8$; 2. $-x - 1 > 0 \iff -x > 1 \iff x < -1$; 3. $\lg(-x - 1) \neq 0 \iff -x - 1 \neq 1 \iff -x \neq 2 \iff x \neq -2$. Объединяя условия: $x \in (-8; -1)$ при $x \neq -2$. **Ответ:** $(-8; -2) \cup (-2; -1)$. --- 6) \( y = \lg(10x - x^2) - \frac{1}{\lg(8 - x)} \) Функция существует при выполнении системы: $$ \begin{cases} 10x - x^2 > 0, \\ 8 - x > 0, \\ \lg(8 - x) \neq 0 \end{cases} $$ Решим неравенства и ограничения: 1. $10x - x^2 > 0 \iff x^2 - 10x < 0 \iff x(x - 10) < 0 \iff x \in (0; 10)$; 2. $8 - x > 0 \iff x < 8$; 3. $\lg(8 - x) \neq 0 \iff 8 - x \neq 1 \iff x \neq 7$. Найдём пересечение: $$ x \in (0; 10) \cap (-\infty; 8) = (0; 8) $$ С учётом точки $x \neq 7$ получаем: $x \in (0; 7) \cup (7; 8)$. **Ответ:** $(0; 7) \cup (7; 8)$. --- 7) \( y = \frac{x}{\lg(4 - x^2)} \) Область определения определяется условиями существования логарифма и неравенства знаменателя нулю: $$ \begin{cases} 4 - x^2 > 0, \\ \lg(4 - x^2) \neq 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1. $4 - x^2 > 0 \iff x^2 < 4 \iff -2 < x < 2$; 2. $\lg(4 - x^2) \neq 0 \iff 4 - x^2 \neq 1 \iff x^2 \neq 3 \iff x \neq \pm\sqrt{3}$. Так как $-\sqrt{3} \approx -1{,}73$ и $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ лежат внутри интервала $(-2; 2)$, исключаем их. **Ответ:** $(-2; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2)$. --- 8) \( y = \lg(9x - x^2) - \frac{1}{\lg(5 - x)} \) Составим систему условий: $$ \begin{cases} 9x - x^2 > 0, \\ 5 - x > 0, \\ \lg(5 - x) \neq 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1. $9x - x^2 > 0 \iff x(9 - x) > 0 \iff x \in (0; 9)$; 2. $5 - x > 0 \iff x < 5$; 3. $\lg(5 - x) \neq 0 \iff 5 - x \neq 1 \iff x \neq 4$. Пересечение первых двух условий даёт интервал $(0; 5)$. Исключая точку $x = 4$, получаем: $$ x \in (0; 4) \cup (4; 5) $$ **Ответ:** $(0; 4) \cup (4; 5)$. --- 9) \( y = \log_{2-x}(8 + 7x - x^2) \) Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы, а выражение под знаком логарифма — положительным: $$ \begin{cases} 8 + 7x - x^2 > 0, \\ 2 - x > 0, \\ 2 - x \neq 1 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1. $8 + 7x - x^2 > 0 \iff x^2 - 7x - 8 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 8$. $(x + 1)(x - 8) < 0 \iff -1 < x < 8$. 2. $2 - x > 0 \iff x < 2$. 3. $2 - x \neq 1 \iff x \neq 1$. Найдём пересечение: $$ x \in (-1; 8) \cap (-\infty; 2) = (-1; 2) $$ С учётом $x \neq 1$ получаем: $x \in (-1; 1) \cup (1; 2)$. **Ответ:** $(-1; 1) \cup (1; 2)$. --- 10) \( y = \sqrt{\frac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)}} \) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, аргумент логарифма — положительным, а знаменатель дроби — не равным нулю: $$ \begin{cases} \dfrac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)} \ge 0, \\ x^2 + 1 > 0, \\ \lg(x^2 + 1) \neq 0 \end{cases} $$ 1. Аргумент логарифма $x^2 + 1 > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$. 2. Знаменатель не равен нулю: $$ \lg(x^2 + 1) \neq 0 \iff x^2 + 1 \neq 1 \iff x^2 \neq 0 \iff x \neq 0 $$ 3. Заметим, что при любом $x \neq 0$ выполнено $x^2 > 0 \implies x^2 + 1 > 1$, следовательно: $$ \lg(x^2 + 1) > \lg 1 = 0 $$ Знаменатель строго положителен для всех $x \neq 0$. Значит, знак дроби совпадает со знаком числителя при условии $x \neq 0$: $$ \begin{cases} (x + 5)(2 - x) \ge 0, \\ x \neq 0 \end{cases} $$ $$ (x + 5)(x - 2) \le 0 \iff -5 \le x \le 2 $$ Исключая точку $x = 0$, получаем объединение промежутков: $$ x \in [-5; 0) \cup (0; 2] $$ **Ответ:** $[-5; 0) \cup (0; 2]$.