ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.39

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства: $$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \le 0 $$ Сначала выполним вычитание первых двух дробей: $$ \frac{x - (x - 2)}{x(x-2)} - \frac{2}{x+2} \le 0 $$ $$ \frac{2}{x(x-2)} - \frac{2}{x+2} \le 0 $$ Разделим обе части неравенства на $2$: $$ \frac{1}{x(x-2)} - \frac{1}{x+2} \le 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+2)$: $$ \frac{(x+2) - x(x-2)}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{x + 2 - x^2 + 2x}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ $$ \frac{-x^2 + 3x + 2}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x^2 - 3x - 2}{x(x-2)(x+2)} \ge 0 $$ Найдем нули числителя: $$ x^2 - 3x - 2 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17 $$ $$ x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} $$ Найдем нули знаменателя (точки разрыва): $$ x = -2, \quad x = 0, \quad x = 2 $$ Оценим значения корней числителя, чтобы расположить все критические точки по возрастанию: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то: $$ -1 < \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < -0{,}5 $$ $$ 3{,}5 < \frac{3 + \sqrt{17}}{2} < 4 $$ Следовательно, точки располагаются в следующем порядке: $$ -2 < \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < 0 < 2 < \frac{3 + \sqrt{17}}{2} $$ Отметим эти точки на числовой прямой. Точки из числителя $\left(\dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\right)$ являются закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\ge 0$). Точки из знаменателя ($-2$, $0$, $2$) — выколотыми. Определим знаки выражения на получившихся интервалах методом интервалов: - при $x \in \left(\dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty\right)$ выражение принимает знак «$+$»; - при $x \in \left(2; \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\right]$ — знак «$-$»; - при $x \in (0; 2)$ — знак «$+$»; - при $x \in \left[\dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}; 0\right)$ — знак «$-$»; - при $x \in \left(-2; \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}\right]$ — знак «$+$»; - при $x \in (-\infty; -2)$ — знак «$-$». Нам подходят промежутки, где выражение неотрицательно ($\ge 0$). Ответ: $\left(-2; \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}\right] \cup (0; 2) \cup \left[\dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty\right)$