ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.38

**14.38.** Решите уравнение: $$\frac{2x - 1}{x + 1} + \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{x - 7}{x - 1} + 4$$ **Решение:** 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$$ $$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$$ $$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Выделим целую часть из каждой дроби: $$\frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$$ $$\frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2}$$ $$\frac{x - 7}{x - 1} = \frac{(x - 1) - 6}{x - 1} = 1 - \frac{6}{x - 1}$$ 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$\left(2 - \frac{3}{x + 1}\right) + \left(3 - \frac{7}{x + 2}\right) = \left(1 - \frac{6}{x - 1}\right) + 4$$ Упростим числовые слагаемые: $$5 - \frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = 5 - \frac{6}{x - 1}$$ Вычтем $5$ из обеих частей уравнения: $$-\frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = -\frac{6}{x - 1}$$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$\frac{3}{x + 1} + \frac{7}{x + 2} = \frac{6}{x - 1}$$ 4. Приведём дроби в левой части к общему знаменателю: $$\frac{3(x + 2) + 7(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{6}{x - 1}$$ $$\frac{3x + 6 + 7x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{6}{x - 1}$$ $$\frac{10x + 13}{x^2 + 3x + 2} = \frac{6}{x - 1}$$ 5. С учётом ОДЗ воспользуемся основным свойством пропорции: $$(10x + 13)(x - 1) = 6(x^2 + 3x + 2)$$ Раскроем скобки: $$10x^2 - 10x + 13x - 13 = 6x^2 + 18x + 12$$ $$10x^2 + 3x - 13 = 6x^2 + 18x + 12$$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные: $$4x^2 - 15x - 25 = 0$$ 6. Решим полученное квадратное уравнение: $$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 225 + 400 = 625 = 25^2$$ $$x_1 = \frac{15 + 25}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5$$ $$x_2 = \frac{15 - 25}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1{,}25$$ 7. Проверим соответствие найденных корней ОДЗ: - $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ; - $x_2 = -1{,}25$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $-1{,}25$; $5$.