ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.36

**1)** Постройте график функции $y = |\log_3 x|$. 1. **Область определения функции:** Подкоренное и логарифмируемое выражение должно быть строго положительным: $$ D(y) = (0; +\infty) $$ 2. **Правило преобразования:** График функции $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ следующим образом: - часть графика, лежащая на оси $Ox$ и выше неё (где $f(x) \ge 0$), остаётся без изменений; - часть графика, лежащая ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), зеркально отображается относительно оси $Ox$ в верхнюю полуплоскость. 3. **Построение:** - Строим базовый график функции $y = \log_3 x$. Он проходит через точки: $(\frac{1}{3}; -1)$, $(1; 0)$, $(3; 1)$, $(9; 2)$. Ось $Oy$ ($x = 0$) является вертикальной асимптотой. - Для $x \ge 1$: $\log_3 x \ge 0 \implies y = \log_3 x$ (график остаётся прежним). - Для $0 < x < 1$: $\log_3 x < 0 \implies y = -\log_3 x$ (часть графика отражается вверх). - Точки для построения итогового графика: $(\frac{1}{9}; 2)$, $(\frac{1}{3}; 1)$, $(1; 0)$, $(3; 1)$, $(9; 2)$. - В точке $(1; 0)$ график имеет излом («уголок»). Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$. --- **2)** Постройте график функции $y = \log_3 |x|$. 1. **Область определения функции:** Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ |x| > 0 \iff x \neq 0 $$ $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Чётность функции:** $$ f(-x) = \log_3 |-x| = \log_3 |x| = f(x) $$ Функция является чётной, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Построение:** - При $x > 0$: $|x| = x$, строим обычный график $y = \log_3 x$. Опорные точки: $(\frac{1}{3}; -1)$, $(1; 0)$, $(3; 1)$, $(9; 2)$. - При $x < 0$: отражаем полученную правую ветвь симметрично относительно оси $Oy$. Опорные точки: $(-\frac{1}{3}; -1)$, $(-1; 0)$, $(-3; 1)$, $(-9; 2)$. - Прямая $x = 0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой для обеих ветвей графика. --- **3)** Постройте график функции $y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{\log_2^2 x}}$. 1. **Область определения функции:** Логарифм определён при $x > 0$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ \sqrt{\log_2^2 x} \neq 0 \iff \log_2 x \neq 0 \iff x \neq 1 $$ $$ D(y) = (0; 1) \cup (1; +\infty) $$ 2. **Преобразование выражения:** По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Значит: $$ y = \frac{\log_2 x}{|\log_2 x|} $$ 3. **Раскрытие модуля:** - Если $x > 1$, то $\log_2 x > 0 \implies |\log_2 x| = \log_2 x$: $$ y = \frac{\log_2 x}{\log_2 x} = 1 $$ - Если $0 < x < 1$, то $\log_2 x < 0 \implies |\log_2 x| = -\log_2 x$: $$ y = \frac{\log_2 x}{-\log_2 x} = -1 $$ 4. **Построение:** График функции состоит из двух параллельных оси $Ox$ открытых горизонтальных лучей: - горизонтальный интервал/полупрямая $y = -1$ при $x \in (0; 1)$ (точка $(1; -1)$ выколота, в точке $x = 0$ график обрывается, не касаясь оси $Oy$); - горизонтальный луч $y = 1$ при $x \in (1; +\infty)$ (точка $(1; 1)$ выколота и идёт вправо параллельно оси $Ox$).