ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.33

**1)** $y = \lg x^2$ Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $$ x^2 > 0 $$ Квадрат числа положителен при всех действительных $x$, кроме нуля: $x \neq 0$. **Ответ:** $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. --- **2)** $y = \lg (1 - \sin x)$ Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ 1 - \sin x > 0 \iff \sin x < 1 $$ Так как для любого действительного $x$ справедливо неравенство $\sin x \le 1$, то условие $\sin x < 1$ выполняется во всех точках, где $\sin x \ne 1$: $$ \sin x \neq 1 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \right\}$. --- **3)** $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2)}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным: $$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2) \ge 0 \\ 1 + x^2 > 0 \end{cases} $$ Неравенство $1 + x^2 > 0$ выполняется при любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$, откуда $1 + x^2 \ge 1 > 0$. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: $$ 1 + x^2 \le \left(\frac{1}{3}\right)^0 $$ $$ 1 + x^2 \le 1 $$ $$ x^2 \le 0 $$ Квадрат действительного числа может быть меньше или равен нулю только в случае, когда он равен нулю: $$ x = 0 $$ **Ответ:** $D(y) = \{0\}$. --- **4)** $y = \sqrt{\lg \cos x}$ Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, а аргумент логарифма положителен: $$ \begin{cases} \lg \cos x \ge 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$: $$ \cos x \ge 10^0 \iff \cos x \ge 1 $$ Учитывая, что по определению косинуса $\cos x \le 1$ для любых $x$, неравенство $\cos x \ge 1$ равносильно уравнению: $$ \cos x = 1 \iff x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ При этих значениях $x$ условие $\cos x > 0$ выполняется автоматически ($1 > 0$). **Ответ:** $D(y) = \{2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$. --- **5)** $y = \frac{1}{\log_6(x - 3)} + \sqrt{6 - x}$ Составим систему условий: $$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ \log_6(x - 3) \neq 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1) $x - 3 > 0 \iff x > 3$; 2) $\log_6(x - 3) \neq 0 \iff x - 3 \neq 1 \iff x \neq 4$; 3) $6 - x \ge 0 \iff x \le 6$. Объединяя условия, получаем: $x \in (3; 4) \cup (4; 6]$. **Ответ:** $D(y) = (3; 4) \cup (4; 6]$. --- **6)** $y = \frac{4}{\lg(x + 2)} + \lg(3 - x)$ Функция определена при выполнении системы условий: $$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ \lg(x + 2) \neq 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1) $x + 2 > 0 \iff x > -2$; 2) $\lg(x + 2) \neq 0 \iff x + 2 \neq 1 \iff x \neq -1$; 3) $3 - x > 0 \iff x < 3$. Находим пересечение: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 3)$. **Ответ:** $D(y) = (-2; -1) \cup (-1; 3)$. --- **7)** $y = \sqrt{\frac{(x + 1)(3 - x)}{\lg(x^2 + 1)}}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, знаменатель отличен от нуля, а аргумент логарифма положителен: $$ \begin{cases} \dfrac{(x + 1)(3 - x)}{\lg(x^2 + 1)} \ge 0 \\ \lg(x^2 + 1) \neq 0 \\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} $$ Неравенство $x^2 + 1 > 0$ верно при всех $x \in \mathbb{R}$. Знаменатель обращается в ноль, если: $$ \lg(x^2 + 1) = 0 \iff x^2 + 1 = 1 \iff x^2 = 0 \iff x = 0 $$ Следовательно, $x \neq 0$. При любом $x \neq 0$ имеем $x^2 > 0$, откуда $x^2 + 1 > 1$, а значит: $$ \lg(x^2 + 1) > \lg 1 = 0 $$ Поскольку при $x \neq 0$ знаменатель строго положителен, знак дроби совпадает со знаком числителя: $$ \begin{cases} (x + 1)(3 - x) \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} (x + 1)(x - 3) \le 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $$ Решением неравенства $(x + 1)(x - 3) \le 0$ является отрезок $[-1; 3]$. Исключая точку $x = 0$, получаем: $x \in [-1; 0) \cup (0; 3]$. **Ответ:** $D(y) = [-1; 0) \cup (0; 3]$. --- **8)** $y = \log_5(x^2 - 4x + 3) + \frac{1}{\log_5(7 - x)}$ Функция определена при выполнении системы: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ 7 - x > 0 \\ \log_5(7 - x) \neq 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1) $x^2 - 4x + 3 > 0 \iff (x - 1)(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; 2) $7 - x > 0 \iff x < 7$; 3) $\log_5(7 - x) \neq 0 \iff 7 - x \neq 1 \iff x \neq 6$. Найдём пересечение полученных промежутков: $$ x \in ((-\infty; 1) \cup (3; +\infty)) \cap (-\infty; 7) \setminus \{6\} = (-\infty; 1) \cup (3; 6) \cup (6; 7) $$ **Ответ:** $D(y) = (-\infty; 1) \cup (3; 6) \cup (6; 7)$. --- **9)** $y = \lg(6x - x^2) + \frac{1}{\lg(3 - x)}$ Составим систему условий: $$ \begin{cases} 6x - x^2 > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \lg(3 - x) \neq 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1) $6x - x^2 > 0 \iff x(6 - x) > 0 \iff x(x - 6) < 0 \iff x \in (0; 6)$; 2) $3 - x > 0 \iff x < 3$; 3) $\lg(3 - x) \neq 0 \iff 3 - x \neq 1 \iff x \neq 2$. Находим общее решение: $$ x \in (0; 6) \cap (-\infty; 3) \setminus \{2\} = (0; 2) \cup (2; 3) $$ **Ответ:** $D(y) = (0; 2) \cup (2; 3)$. --- **10)** $y = \log_{x+3}(x^2 + x)$ Логарифм $\log_a b$ определён при $b > 0$, $a > 0$ и $a \neq 1$: $$ \begin{cases} x^2 + x > 0 \\ x + 3 > 0 \\ x + 3 \neq 1 \end{cases} $$ Решим каждое условие: 1) $x(x + 1) > 0 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$; 2) $x + 3 > 0 \iff x > -3$; 3) $x + 3 \neq 1 \iff x \neq -2$. Пересекаем полученные множества: $$ ((-3; -2) \cup (-2; +\infty)) \cap ((-\infty; -1) \cup (0; +\infty)) = (-3; -2) \cup (-2; -1) \cup (0; +\infty) $$ **Ответ:** $D(y) = (-3; -2) \cup (-2; -1) \cup (0; +\infty)$.