ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.28

1) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$ Область определения уравнения: $x > 0$. Для графического решения уравнения построим графики функций $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y = x + \frac{1}{2}$ в одной системе координат. 1. График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая кривая (основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывает на $(0; +\infty)$). Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | 2. График функции $y = x + \frac{1}{2}$ — прямая (линейная функция, возрастает на $\mathbb{R}$). Для её построения достаточно двух точек: | $x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $1\frac{1}{2}$ | 3. Графики функций пересекаются в одной точке с координатами $\left(\frac{1}{2}; 1\right)$. Так как функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ строго убывает при $x > 0$, а функция $y = x + \frac{1}{2}$ строго возрастает, то корень уравнения единственен. Проверка: $$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $$ $$ 1 = 1 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $x = \frac{1}{2}$ (или $x = 0{,}5$). --- 2) $\log_{3} x = 4 - x$ Область определения уравнения: $x > 0$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \log_{3} x$ и $y = 4 - x$. 1. График функции $y = \log_{3} x$ — логарифмическая кривая (основание $3 > 1$, функция возрастает на $(0; +\infty)$). Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | 2. График функции $y = 4 - x$ — прямая (линейная функция, убывает на $\mathbb{R}$). Составим таблицу точек: | $x$ | $0$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | 3. Графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(3; 1)$. Поскольку функция $y = \log_{3} x$ строго возрастает на $(0; +\infty)$, а функция $y = 4 - x$ строго убывает на $\mathbb{R}$, уравнение имеет единственный корень. Проверка: $$ \log_{3} 3 = 4 - 3 $$ $$ 1 = 1 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $x = 3$.