ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.31

Используем свойство логарифма $\log_{b} a = \dfrac{1}{\log_{a} b}$. Тогда: $$\log_{3} 2 = \frac{1}{\log_{2} 3}$$ Пусть $t = \log_{2} 3$. Так как основание логарифма $2 > 1$ и аргумент $3 > 2$, то: $$t = \log_{2} 3 > \log_{2} 2 = 1$$ Значит, $t > 0$ и $t \neq 1$. Рассмотрим разность исходного выражения и числа $2$: $$\log_{2} 3 + \log_{3} 2 - 2 = t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = \frac{(t - 1)^2}{t}$$ Так как $t > 1$, числитель $(t - 1)^2 > 0$, а знаменатель $t > 0$. Следовательно: $$\frac{(t - 1)^2}{t} > 0$$ Отсюда получаем: $$\log_{2} 3 + \log_{3} 2 - 2 > 0 \implies \log_{2} 3 + \log_{3} 2 > 2$$ Ответ: $\log_{2} 3 + \log_{3} 2 > 2$.