ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.27

**1)** $\log_2 x = 3 - x$ Область определения уравнения: $x > 0$. Для графического решения уравнения построим графики функций $y = \log_2 x$ и $y = 3 - x$ в одной системе координат. 1. Построим график функции $y = \log_2 x$. Это логарифмическая функция, она определена при $x > 0$ и строго возрастает, так как основание $2 > 1$. Составим таблицу значений: | $x$ | $0,5$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | 2. Построим график функции $y = 3 - x$. Это линейная функция, её график — прямая, функция строго убывает. Составим таблицу значений: | $x$ | $0$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $1$ | $0$ | Графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(2; 1)$. Так как функция $y = \log_2 x$ строго возрастает на промежутке $(0; +\infty)$, а функция $y = 3 - x$ строго убывает на $\mathbb{R}$, то данное уравнение имеет не более одного корня. Проверка: левая часть: $\log_2 2 = 1$; правая часть: $3 - 2 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно, следовательно, $x = 2$ — единственный корень. Ответ: $2$. --- **2)** $\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1$ Область определения уравнения: $x > 0$. Построим графики функций $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = x - 1$ в одной системе координат. 1. Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — логарифмическая, определена при $x > 0$ и строго убывает, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$. Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1$ | $0$ | $-1$ | 2. Функция $y = x - 1$ — линейная, её график — прямая, функция строго возрастает. Составим таблицу значений: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | Графики функций пересекаются в точке с координатами $(1; 0)$. Так как функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ строго убывает на интервале $(0; +\infty)$, а функция $y = x - 1$ строго возрастает, то корень уравнения единственный. Проверка: левая часть: $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$; правая часть: $1 - 1 = 0$. Равенство $0 = 0$ верно, значит, $x = 1$. Ответ: $1$. --- **3)** $\log_2 x = -x - 0,5$ Область определения уравнения: $x > 0$. Построим графики функций $y = \log_2 x$ и $y = -x - 0,5$ в одной системе координат. 1. Функция $y = \log_2 x$ — логарифмическая, определена при $x > 0$ и строго возрастает. Составим таблицу значений: | $x$ | $0,5$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | 2. Функция $y = -x - 0,5$ — линейная, её график — прямая, функция строго убывает. Составим таблицу значений: | $x$ | $0$ | $0,5$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-0,5$ | $-1$ | $-1,5$ | Графики функций пересекаются в точке с координатами $(0,5; -1)$. Так как функция в левой части уравнения строго возрастает, а в правой части — строго убывает, то найденный корень является единственным. Проверка: левая часть: $\log_2 0,5 = \log_2 2^{-1} = -1$; правая часть: $-0,5 - 0,5 = -1$. Равенство $-1 = -1$ верно, следовательно, $x = 0,5$. Ответ: $0,5$.