ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.26

Для построения графиков используем геометрические преобразования графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Базовая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ определена при $x > 0$, является убывающей (так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$), имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось $Oy$) и проходит через опорные точки: $\left(\frac{1}{3}; 1\right)$, $(1; 0)$, $(3; -1)$, $(9; -2)$. --- ### 1) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 2)$ 1. **Преобразование:** график функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ параллельным переносом вдоль оси $Ox$ вправо на $2$ единицы. 2. **Область определения:** $$ x - 2 > 0 \implies x > 2, \quad D(y) = (2; +\infty) $$ 3. **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 2$. 4. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $2\frac{1}{3}$ | $3$ | $5$ | $11$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | Функция убывает на интервале $(2; +\infty)$. --- ### 2) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$ 1. **Преобразование:** график функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ параллельным переносом вдоль оси $Ox$ влево на $1$ единицу. 2. **Область определения:** $$ x + 1 > 0 \implies x > -1, \quad D(y) = (-1; +\infty) $$ 3. **Вертикальная асимптота:** прямая $x = -1$. 4. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-\frac{2}{3}$ | $0$ | $2$ | $8$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | Функция убывает на интервале $(-1; +\infty)$. --- ### 3) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2$ 1. **Преобразование:** график функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ параллельным переносом вдоль оси $Oy$ вниз на $2$ единицы. 2. **Область определения:** $$ x > 0, \quad D(y) = (0; +\infty) $$ 3. **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). 4. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | $-3$ | Функция убывает на интервале $(0; +\infty)$. --- ### 4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1$ 1. **Преобразование:** график функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ параллельным переносом вдоль оси $Oy$ вверх на $1$ единицу. 2. **Область определения:** $$ x > 0, \quad D(y) = (0; +\infty) $$ 3. **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). 4. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | Функция убывает на интервале $(0; +\infty)$. --- ### 5) $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$ 1. **Преобразование:** график функции получается симметричным отображением графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси $Ox$. *(По свойству логарифма: $-\log_{\frac{1}{3}} x = \log_3 x$, график возрастает).* 2. **Область определения:** $$ x > 0, \quad D(y) = (0; +\infty) $$ 3. **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). 4. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | Функция возрастает на интервале $(0; +\infty)$. --- ### 6) $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$ 1. **Преобразование:** график функции получается симметричным отображением графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси $Oy$. 2. **Область определения:** $$ -x > 0 \implies x < 0, \quad D(y) = (-\infty; 0) $$ 3. **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). 4. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-9$ | $-3$ | $-1$ | $-\frac{1}{3}$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | Функция возрастает на интервале $(-\infty; 0)$.