ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.30

1) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \log_2 x$ Область определения уравнения: $x > 0$. Рассмотрим две функции, заданные на промежутке $(0; +\infty)$: $$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \quad \text{и} \quad g(x) = \log_2 x $$ * Функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ является показательной с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает на интервале $(0; +\infty)$. * Функция $g(x) = \log_2 x$ является логарифмической с основанием $2 > 1$, следовательно, она строго возрастает на интервале $(0; +\infty)$. Если одна функция строго возрастает, а другая строго убывает на некотором промежутке, то их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим существование корня: * при $x = \frac{1}{2}$: $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$, а $g\left(\frac{1}{2}\right) = \log_2 \frac{1}{2} = -1$, то есть $f\left(\frac{1}{2}\right) > g\left(\frac{1}{2}\right)$; * при $x = 2$: $f(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, а $g(2) = \log_2 2 = 1$, то есть $f(2) < g(2)$. Так как обе функции непрерывны на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$, по свойству непрерывных функций график функции $f(x)$ пересекает график функции $g(x)$ ровно в одной точке. Следовательно, уравнение имеет 1 корень. 2) $\log_2 x = \frac{1}{x}$ Область определения уравнения: $x > 0$. Рассмотрим две функции на промежутке $(0; +\infty)$: $$ f(x) = \log_2 x \quad \text{и} \quad g(x) = \frac{1}{x} $$ * Функция $f(x) = \log_2 x$ строго возрастает на интервале $(0; +\infty)$, так как основание логарифма $2 > 1$. * Функция $g(x) = \frac{1}{x}$ строго убывает на интервале $(0; +\infty)$. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает на общем промежутке, уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Проверим существование корня: * при $x = 1$: $f(1) = \log_2 1 = 0$, а $g(1) = \frac{1}{1} = 1$, то есть $f(1) < g(1)$; * при $x = 2$: $f(2) = \log_2 2 = 1$, а $g(2) = \frac{1}{2}$, то есть $f(2) > g(2)$. Так как функции непрерывны на отрезке $[1; 2]$, на интервале $(1; 2)$ существует точка, в которой значения функций равны. В силу монотонности эта точка единственна. Следовательно, уравнение имеет 1 корень. Ответ: 1) 1 корень; 2) 1 корень.