ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.25

Для построения графиков используем базовый график возрастающей логарифмической функции $y = \log_2 x$, который проходит через точки $(0{,}5; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось $Oy$). 1) $y = \log_2(x - 1)$ * **Область определения:** $$ x - 1 > 0 \implies x > 1 $$ Значит, $D(y) = (1; +\infty)$. * **Преобразование:** график функции $y = \log_2 x$ смещается параллельным переносом вдоль оси абсцисс на $1$ единицу вправо. * **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 1$. * **Контрольные точки:** * при $x = 1{,}5$: $y = \log_2(1{,}5 - 1) = \log_2 0{,}5 = -1 \implies (1{,}5; -1)$; * при $x = 2$: $y = \log_2(2 - 1) = \log_2 1 = 0 \implies (2; 0)$; * при $x = 3$: $y = \log_2(3 - 1) = \log_2 2 = 1 \implies (3; 1)$; * при $x = 5$: $y = \log_2(5 - 1) = \log_2 4 = 2 \implies (5; 2)$. --- 2) $y = \log_2(x + 3)$ * **Область определения:** $$ x + 3 > 0 \implies x > -3 $$ Значит, $D(y) = (-3; +\infty)$. * **Преобразование:** график функции $y = \log_2 x$ смещается параллельным переносом вдоль оси абсцисс на $3$ единицы влево. * **Вертикальная асимптота:** прямая $x = -3$. * **Контрольные точки:** * при $x = -2{,}5$: $y = \log_2(-2{,}5 + 3) = \log_2 0{,}5 = -1 \implies (-2{,}5; -1)$; * при $x = -2$: $y = \log_2(-2 + 3) = \log_2 1 = 0 \implies (-2; 0)$; * при $x = -1$: $y = \log_2(-1 + 3) = \log_2 2 = 1 \implies (-1; 1)$; * при $x = 1$: $y = \log_2(1 + 3) = \log_2 4 = 2 \implies (1; 2)$. --- 3) $y = \log_2 x - 1$ * **Область определения:** $$ x > 0 $$ Значит, $D(y) = (0; +\infty)$. * **Преобразование:** график функции $y = \log_2 x$ смещается параллельным переносом вдоль оси ординат на $1$ единицу вниз. * **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). * **Контрольные точки:** * при $x = 0{,}5$: $y = \log_2 0{,}5 - 1 = -1 - 1 = -2 \implies (0{,}5; -2)$; * при $x = 1$: $y = \log_2 1 - 1 = 0 - 1 = -1 \implies (1; -1)$; * при $x = 2$: $y = \log_2 2 - 1 = 1 - 1 = 0 \implies (2; 0)$; * при $x = 4$: $y = \log_2 4 - 1 = 2 - 1 = 1 \implies (4; 1)$. --- 4) $y = \log_2 x + 3$ * **Область определения:** $$ x > 0 $$ Значит, $D(y) = (0; +\infty)$. * **Преобразование:** график функции $y = \log_2 x$ смещается параллельным переносом вдоль оси ординат на $3$ единицы вверх. * **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). * **Контрольные точки:** * при $x = 0{,}5$: $y = \log_2 0{,}5 + 3 = -1 + 3 = 2 \implies (0{,}5; 2)$; * при $x = 1$: $y = \log_2 1 + 3 = 0 + 3 = 3 \implies (1; 3)$; * при $x = 2$: $y = \log_2 2 + 3 = 1 + 3 = 4 \implies (2; 4)$; * при $x = 4$: $y = \log_2 4 + 3 = 2 + 3 = 5 \implies (4; 5)$. --- 5) $y = -\log_2 x$ * **Область определения:** $$ x > 0 $$ Значит, $D(y) = (0; +\infty)$. * **Преобразование:** график функции $y = \log_2 x$ отображается симметрично относительно оси абсцисс $Ox$ (функция становится убывающей). * **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). * **Контрольные точки:** * при $x = 0{,}5$: $y = -\log_2 0{,}5 = -(-1) = 1 \implies (0{,}5; 1)$; * при $x = 1$: $y = -\log_2 1 = 0 \implies (1; 0)$; * при $x = 2$: $y = -\log_2 2 = -1 \implies (2; -1)$; * при $x = 4$: $y = -\log_2 4 = -2 \implies (4; -2)$. --- 6) $y = \log_2(-x)$ * **Область определения:** $$ -x > 0 \implies x < 0 $$ Значит, $D(y) = (-\infty; 0)$. * **Преобразование:** график функции $y = \log_2 x$ отображается симметрично относительно оси ординат $Oy$ (график располагается во второй и третьей координатных четвертях). * **Вертикальная асимптота:** прямая $x = 0$ (ось $Oy$). * **Контрольные точки:** * при $x = -0{,}5$: $y = \log_2(-(-0{,}5)) = \log_2 0{,}5 = -1 \implies (-0{,}5; -1)$; * при $x = -1$: $y = \log_2(-(-1)) = \log_2 1 = 0 \implies (-1; 0)$; * при $x = -2$: $y = \log_2(-(-2)) = \log_2 2 = 1 \implies (-2; 1)$; * при $x = -4$: $y = \log_2(-(-4)) = \log_2 4 = 2 \implies (-4; 2)$.