ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.29

1) $\log_2 x = -x$ Область определения уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции: $y = \log_2 x$ — логарифмическая функция с основанием $2 > 1$, возрастает на промежутке $(0; +\infty)$. Её график проходит через точки: $$ \left(\frac{1}{2}; -1\right),\quad (1; 0),\quad (2; 1),\quad (4; 2) $$ $y = -x$ — линейная функция, график — прямая, убывает на всей числовой прямой, в том числе при $x > 0$. Её график проходит через точки: $$ (0; 0),\quad (1; -1),\quad (2; -2) $$ Поскольку функция $y = \log_2 x$ строго возрастает, а функция $y = -x$ строго убывает на луче $(0; +\infty)$, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. При $x \to 0^+$ имеем $\log_2 x \to -\infty$, а $-x \to 0$, то есть $\log_2 x < -x$. При $x = 1$ получаем: $$ \log_2 1 = 0,\quad -1 = -1 \implies \log_2 1 > -1 $$ Следовательно, на интервале $(0; 1)$ графики пересекаются ровно в одной точке. **Ответ:** 1 корень. --- 2) $\log_3 x = -x^2$ Область определения уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции: $y = \log_3 x$ — логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, возрастает на промежутке $(0; +\infty)$. График проходит через точки: $$ \left(\frac{1}{3}; -1\right),\quad (1; 0),\quad (3; 1) $$ $y = -x^2$ — квадратичная функция, график — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви которой направлены вниз. При $x > 0$ эта функция строго убывает. График проходит через точки: $$ (0; 0),\quad (1; -1),\quad (2; -4) $$ Так как на промежутке $(0; +\infty)$ функция $y = \log_3 x$ строго возрастает, а $y = -x^2$ строго убывает, они имеют не более одной общей точки. При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$) значения $\log_3 x \to -\infty$, а $-x^2 \to 0$, то есть $\log_3 x < -x^2$. При $x = 1$: $$ \log_3 1 = 0,\quad -1^2 = -1 \implies \log_3 1 > -1^2 $$ Значит, на интервале $(0; 1)$ существует единственная точка пересечения графиков. **Ответ:** 1 корень. --- 3) $\log_{\frac{1}{3}} x = \sqrt{x}$ Область определения уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции: $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — логарифмическая функция с основанием $0 < \frac{1}{3} < 1$, строго убывает на промежутке $(0; +\infty)$. График проходит через точки: $$ \left(\frac{1}{3}; 1\right),\quad (1; 0),\quad (3; -1) $$ $y = \sqrt{x}$ — функция арифметического квадратного корня, строго возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. График проходит через точки: $$ (0; 0),\quad (1; 1),\quad (4; 2) $$ Поскольку функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ строго убывает на $(0; +\infty)$, а функция $y = \sqrt{x}$ строго возрастает на этом промежутке, графики пересекаются не более чем в одной точке. При $x \to 0^+$ имеем $\log_{\frac{1}{3}} x \to +\infty$, а $\sqrt{x} \to 0$, откуда $\log_{\frac{1}{3}} x > \sqrt{x}$. При $x = 1$: $$ \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0,\quad \sqrt{1} = 1 \implies \log_{\frac{1}{3}} 1 < \sqrt{1} $$ Следовательно, на интервале $(0; 1)$ графики пересекаются ровно в одной точке. **Ответ:** 1 корень.