ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.23

1) $f(x) = \frac{1}{\lg x}$ Область определения функции задаётся условиями: подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль. Составим систему: $$ \begin{cases} x > 0, \\ \lg x \neq 0 \end{cases} $$ Так как $\lg x = 0$ при $x = 1$, получаем: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Следовательно, $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. **Ответ:** $D(f) = (0; 1) \cup (1; +\infty)$. --- 2) $f(x) = \frac{4}{\log_5(10 - x)}$ Выражение под знаком логарифма должно быть положительным, а знаменатель дроби — отличным от нуля: $$ \begin{cases} 10 - x > 0, \\ \log_5(10 - x) \neq 0 \end{cases} $$ Решим каждое условие: $$ \begin{cases} -x > -10, \\ 10 - x \neq 5^0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 10, \\ 10 - x \neq 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 10, \\ x \neq 9 \end{cases} $$ Значит, $x \in (-\infty; 9) \cup (9; 10)$. **Ответ:** $D(f) = (-\infty; 9) \cup (9; 10)$. --- 3) $f(x) = \log_2 \cos x$ Логарифм определён тогда и только тогда, когда его аргумент строго положителен: $$ \cos x > 0 $$ Косинус положителен в I и IV координатных четвертях. Решением простейшего тригонометрического неравенства является: $$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $D(f) = \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$. --- 4) $f(x) = \log_3 \operatorname{tg} x$ Функция определена, если тангенс существует и строго больше нуля: $$ \begin{cases} \operatorname{tg} x > 0, \\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ Тангенс положителен в I и III четвертях числовой окружности. Решая неравенство $\operatorname{tg} x > 0$, получаем: $$ \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ На этих интервалах сам тангенс всегда определён, поэтому дополнительное ограничение соблюдается автоматически. **Ответ:** $D(f) = \left(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.