ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.21

1) Сравним числа $\log_4 5$ и $\log_5 4$ с единицей: Так как основание $4 > 1$, функция $y = \log_4 x$ возрастает. Поскольку $5 > 4$, получаем: $$\log_4 5 > \log_4 4 = 1$$ Так как основание $5 > 1$, функция $y = \log_5 x$ возрастает. Поскольку $4 < 5$, получаем: $$\log_5 4 < \log_5 5 = 1$$ Следовательно: $$\log_4 5 > 1 > \log_5 4$$ Значит, $\log_4 5 > \log_5 4$. 2) Сравним числа $\log_{1,5} 1,3$ и $\log_{1,3} 1,5$ с единицей: Так как основание $1,5 > 1$, логарифмическая функция возрастает. Поскольку $1,3 < 1,5$, имеем: $$\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,5} 1,5 = 1$$ Так как основание $1,3 > 1$, функция возрастает. Поскольку $1,5 > 1,3$, имеем: $$\log_{1,3} 1,5 > \log_{1,3} 1,3 = 1$$ Следовательно: $$\log_{1,5} 1,3 < 1 < \log_{1,3} 1,5$$ Значит, $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,3} 1,5$. 3) Сравним числа $\log_{0,7} 0,8$ и $\log_{0,8} 0,7$ с единицей: Так как основание $0 < 0,7 < 1$, функция $y = \log_{0,7} x$ убывает. Поскольку $0,8 > 0,7$, при большем аргументе значение функции меньше: $$\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,7} 0,7 = 1$$ Так как основание $0 < 0,8 < 1$, функция $y = \log_{0,8} x$ убывает. Поскольку $0,7 < 0,8$, при меньшем аргументе значение функции больше: $$\log_{0,8} 0,7 > \log_{0,8} 0,8 = 1$$ Следовательно: $$\log_{0,7} 0,8 < 1 < \log_{0,8} 0,7$$ Значит, $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,8} 0,7$. 4) Сравним числа $\log_{0,2} 0,1$ и $\log_{0,1} 0,2$ с единицей: Так как основание $0 < 0,2 < 1$, функция $y = \log_{0,2} x$ убывает. Поскольку $0,1 < 0,2$, получаем: $$\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,2} 0,2 = 1$$ Так как основание $0 < 0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1} x$ убывает. Поскольку $0,2 > 0,1$, получаем: $$\log_{0,1} 0,2 < \log_{0,1} 0,1 = 1$$ Следовательно: $$\log_{0,2} 0,1 > 1 > \log_{0,1} 0,2$$ Значит, $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,1} 0,2$. **Ответ:** 1) $\log_4 5 > \log_5 4$; 2) $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,3} 1,5$; 3) $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,8} 0,7$; 4) $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,1} 0,2$.