ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.19

1) Для числа $\log_3 10$: Так как $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$, то выполняется неравенство: $$ 3^2 < 10 < 3^3 $$ Функция $y = \log_3 x$ возрастает на всей области определения, так как основание $3 > 1$. Логарифмируя неравенство по основанию $3$, получаем: $$ \log_3 3^2 < \log_3 10 < \log_3 3^3 $$ $$ 2 < \log_3 10 < 3 $$ Число $\log_3 10$ находится между целыми числами $2$ и $3$. 2) Для числа $\log_2 5$: Так как $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$, то: $$ 2^2 < 5 < 2^3 $$ Функция $y = \log_2 x$ возрастает, так как основание $2 > 1$. Логарифмируя неравенство по основанию $2$, получаем: $$ \log_2 2^2 < \log_2 5 < \log_2 2^3 $$ $$ 2 < \log_2 5 < 3 $$ Число $\log_2 5$ находится между целыми числами $2$ и $3$. 3) Для числа $\log_{\frac{1}{3}} 7$: Найдём степени основания $\frac{1}{3}$, между которыми заключено число $7$: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3, \quad \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 $$ Так как $3 < 7 < 9$, то: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} < 7 < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} $$ Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывает, так как её основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому при взятии логарифма знаки неравенства меняются на противоположные: $$ \log_{\frac{1}{3}} 9 < \log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 3 $$ $$ -2 < \log_{\frac{1}{3}} 7 < -1 $$ Число $\log_{\frac{1}{3}} 7$ находится между целыми числами $-2$ и $-1$. 4) Для числа $\log_{0,1} 2$: Найдём степени основания $0,1$, между которыми заключено число $2$: $$ 0,1^0 = 1, \quad 0,1^{-1} = 10 $$ Так как $1 < 2 < 10$, то: $$ 0,1^0 < 2 < 0,1^{-1} $$ Функция $y = \log_{0,1} x$ убывает, так как её основание $0 < 0,1 < 1$. При логарифмировании знаки неравенства меняются на противоположные: $$ \log_{0,1} 10 < \log_{0,1} 2 < \log_{0,1} 1 $$ $$ -1 < \log_{0,1} 2 < 0 $$ Число $\log_{0,1} 2$ находится между целыми числами $-1$ и $0$. **Ответ:** 1) между $2$ и $3$; 2) между $2$ и $3$; 3) между $-2$ и $-1$; 4) между $-1$ и $0$.