ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.18

1) Сравним $\log_{0,1} 12$ и $1$. Представим число $1$ в виде логарифма по основанию $0,1$: $$ 1 = \log_{0,1} 0,1 $$ Так как основание логарифма $0 < 0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей. Сравним аргументы: $$ 12 > 0,1 $$ Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно: $$ \log_{0,1} 12 < \log_{0,1} 0,1 $$ $$ \log_{0,1} 12 < 1 $$ 2) Сравним $\log_{4} 3$ и $-\frac{1}{2}$. Представим число $-\frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию $4$: $$ -\frac{1}{2} = \log_{4} \left(4^{-\frac{1}{2}}\right) = \log_{4} \left(\frac{1}{\sqrt{4}}\right) = \log_{4} \frac{1}{2} $$ Так как основание логарифма $4 > 1$, функция $y = \log_{4} x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $$ 3 > \frac{1}{2} $$ Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно: $$ \log_{4} 3 > \log_{4} \frac{1}{2} $$ $$ \log_{4} 3 > -\frac{1}{2} $$ 3) Сравним $\frac{2}{3}$ и $\log_{125} 30$. Представим число $\frac{2}{3}$ в виде логарифма по основанию $125$: $$ \frac{2}{3} = \log_{125} \left(125^{\frac{2}{3}}\right) = \log_{125} \left((\sqrt[3]{125})^2\right) = \log_{125} (5^2) = \log_{125} 25 $$ Так как основание логарифма $125 > 1$, функция $y = \log_{125} x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $$ 25 < 30 $$ Для возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно: $$ \log_{125} 25 < \log_{125} 30 $$ $$ \frac{2}{3} < \log_{125} 30 $$ Ответ: 1) $\log_{0,1} 12 < 1$; 2) $\log_{4} 3 > -\frac{1}{2}$; 3) $\frac{2}{3} < \log_{125} 30$.