ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.17

1) Сравним $\log_9 2$ и $3$. Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $9$: $$ 3 = \log_9 9^3 = \log_9 729 $$ Так как основание $9 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_9 x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $2 < 729$. Следовательно: $$ \log_9 2 < \log_9 729 \implies \log_9 2 < 3 $$ 2) Сравним $\log_{\frac{1}{5}} 27$ и $-2$. Представим число $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$: $$ -2 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{5}} \left(5^2\right) = \log_{\frac{1}{5}} 25 $$ Так как основание $0 < \frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ является убывающей. Сравним аргументы: $27 > 25$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно: $$ \log_{\frac{1}{5}} 27 < \log_{\frac{1}{5}} 25 \implies \log_{\frac{1}{5}} 27 < -2 $$ 3) Сравним $\log_{\sqrt{3}} 26$ и $6$. Представим число $6$ в виде логарифма по основанию $\sqrt{3}$: $$ 6 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^6 = \log_{\sqrt{3}} \left((\sqrt{3})^2\right)^3 = \log_{\sqrt{3}} 3^3 = \log_{\sqrt{3}} 27 $$ Так как основание $\sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\sqrt{3}} x$ возрастает. Сравним аргументы: $26 < 27$. Следовательно: $$ \log_{\sqrt{3}} 26 < \log_{\sqrt{3}} 27 \implies \log_{\sqrt{3}} 26 < 6 $$ 4) Сравним $\log_{16} 0,1$ и $-\frac{3}{4}$. Представим число $-\frac{3}{4}$ в виде логарифма по основанию $16$: $$ -\frac{3}{4} = \log_{16} 16^{-\frac{3}{4}} = \log_{16} (2^4)^{-\frac{3}{4}} = \log_{16} 2^{-3} = \log_{16} \frac{1}{8} = \log_{16} 0,125 $$ Так как основание $16 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{16} x$ возрастает. Сравним аргументы: $0,1 < 0,125$. Следовательно: $$ \log_{16} 0,1 < \log_{16} 0,125 \implies \log_{16} 0,1 < -\frac{3}{4} $$ Ответ: 1) $\log_9 2 < 3$; 2) $\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2$; 3) $\log_{\sqrt{3}} 26 < 6$; 4) $\log_{16} 0,1 < -\frac{3}{4}$.