ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.16

Для построения графиков функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ исследуем их свойства и найдем координаты контрольных точек. Область определения обеих функций: $$ D(y) = (0; +\infty) $$ Ось ординат ($x = 0$) является вертикальной асимптотой для каждого из графиков. 1. Функция $y = \log_3 x$: * Так как основание $a = 3 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения. * Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | 2. Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$: * По формуле перехода к новому основанию (или вынесения степени из основания): $$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_3 x $$ * Так как основание $a = \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей на всей области определения. * Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | 3. Построение: * На координатной плоскости отметим найденные точки для каждой из функций и соединим их плавными линиями. * Обе кривые приближаются к оси $Oy$ (не пересекая её) и проходят через общую точку $(1; 0)$. 4. Взаимное расположение графиков: Так как $\log_{\frac{1}{3}} x = -\log_3 x$, для любого значения $x > 0$ соответствующие ординаты точек графиков являются противоположными числами: $y_2 = -y_1$. Это означает, что каждой точке $(x; y)$ графика функции $y = \log_3 x$ соответствует точка $(x; -y)$ графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Следовательно, графики функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ симметричны относительно оси абсцисс (оси $Ox$) и имеют единственную общую точку $(1; 0)$. **Ответ:** графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси $Ox$).