ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.15

1. Рассмотрим функцию $y = \log_2 x$: * Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$. * Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей. * Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | 2. Рассмотрим функцию $y = \log_2 \frac{1}{x}$: * Область определения: $\frac{1}{x} > 0 \implies x > 0$, то есть $D(y) = (0; +\infty)$. * Преобразуем выражение, используя свойство степени и логарифма: $$ y = \log_2 \frac{1}{x} = \log_2 (x^{-1}) = -\log_2 x $$ (или $y = \log_{\frac{1}{2}} x$). * Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей. * Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | 3. Построение: * На координатной плоскости строим точку $(1; 0)$, являющуюся общей точкой пересечения графиков с осью $Ox$. * Для графика $y = \log_2 x$ проводим через точки $(\frac{1}{4}; -2)$, $(\frac{1}{2}; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$ плавную возрастающую кривую, приближающуюся к оси $Oy$ (ось $Oy$ — вертикальная асимптота). * Для графика $y = \log_2 \frac{1}{x}$ проводим через точки $(\frac{1}{4}; 2)$, $(\frac{1}{2}; 1)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$, $(4; -2)$ плавную убывающую кривую, также приближающуюся к оси $Oy$. 4. Взаимное расположение графиков: Поскольку для любого $x > 0$ выполняется равенство $\log_2 \frac{1}{x} = -\log_2 x$, значения функций при одинаковых значениях аргумента $x$ имеют противоположные знаки. Следовательно, графики функций симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси $Ox$). Ответ: графики функций симметричны относительно оси абсцисс (оси $Ox$) и пересекаются в точке $(1; 0)$.