ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.14

1) $f(x) = \log_7(6 - x)$ Область определения логарифмической функции состоит из всех значений аргумента, при которых выражение под знаком логарифма строго больше нуля: $$ 6 - x > 0 $$ $$ -x > -6 $$ $$ x < 6 $$ Ответ: $D(f) = (-\infty; 6)$. 2) $f(x) = \log_{12} |x|$ Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ |x| > 0 $$ Так как модуль любого действительного числа неотрицателен ($|x| \ge 0$) и равен нулю только при $x = 0$, неравенство выполняется для всех $x \neq 0$. Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 3) $f(x) = \lg(x^2 - 1)$ Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ x^2 - 1 > 0 $$ Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - 1)(x + 1) > 0 $$ Применим метод интервалов: нули функции — $x = -1$ и $x = 1$. Знаки произведения на полученных интервалах: положительно на $(-\infty; -1)$, отрицательно на $(-1; 1)$, положительно на $(1; +\infty)$. $$ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. 4) $f(x) = \log_{0{,}4}(7x - x^2)$ Составим условие существования логарифма: $$ 7x - x^2 > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 - 7x < 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x - 7) < 0 $$ Нули функции — $x = 0$ и $x = 7$. Парабола $y = x^2 - 7x$ направлена ветвями вверх, следовательно, выражение принимает отрицательные значения между нулями: $$ 0 < x < 7 $$ Ответ: $D(f) = (0; 7)$. 5) $f(x) = \lg(x + 2) - 2\lg(x + 5)$ Функция определена тогда и только тогда, когда оба подлогарифмических выражения строго больше нуля: $$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -2 \\ x > -5 \end{cases} $$ Пересечением решений системы является промежуток: $$ x > -2 $$ Ответ: $D(f) = (-2; +\infty)$. 6) $f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x - 1}$ Дробь под знаком логарифма должна быть строго положительной: $$ \frac{2x + 1}{x - 1} > 0 $$ Решим дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: - $2x + 1 = 0 \implies x = -0{,}5$; - $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Отметим выколотые точки $-0{,}5$ и $1$ на числовой прямой и определим знаки дроби на интервалах: - при $x > 1$ дробь положительна ($+$); - при $-0{,}5 < x < 1$ дробь отрицательна ($-$) ; - при $x < -0{,}5$ дробь положительна ($+$). Следовательно: $$ x \in (-\infty; -0{,}5) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $D(f) = (-\infty; -0{,}5) \cup (1; +\infty)$.