ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 14 - 14.13

Область определения логарифмической функции $y = \log_a g(x)$ состоит из всех значений переменной, при которых подлогарифмическое выражение строго больше нуля: $g(x) > 0$. 1) $f(x) = \log_3(x + 1)$ Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $$ x + 1 > 0 $$ $$ x > -1 $$ Ответ: $D(f) = (-1; +\infty)$. 2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1)$ Составим неравенство: $$ x^2 + 1 > 0 $$ Так как для любого действительного числа $x$ верно $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 3) $f(x) = \log_4(-x)$ Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $$ -x > 0 $$ $$ x < 0 $$ Ответ: $D(f) = (-\infty; 0)$. 4) $f(x) = \lg x^2$ Составим неравенство: $$ x^2 > 0 $$ Квадрат числа положителен для всех действительных значений $x$, кроме нуля: $x \ne 0$. Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 5) $f(x) = \log_5(x^2 + x + 1)$ Составим неравенство: $$ x^2 + x + 1 > 0 $$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 + x + 1$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$, а старший коэффициент $a = 1 > 0$. Значит, ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось абсцисс, то есть $x^2 + x + 1 > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$. Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 6) $f(x) = \log_{0{,}6}(5x - 6 - x^2)$ Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $$ 5x - 6 - x^2 > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ x^2 - 5x + 6 < 0 $$ Найдём корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$ (x - 2)(x - 3) < 0 $$ Решением данного неравенства является интервал: $$ 2 < x < 3 $$ Ответ: $D(f) = (2; 3)$. 7) $f(x) = 2\lg x + 3\lg(2 - x)$ Функция определена, если оба подлогарифмических выражения одновременно строго больше нуля: $$ \begin{cases} x > 0, \\ 2 - x > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 0, \\ x < 2 \end{cases} $$ Пересечением решений является интервал $(0; 2)$. Ответ: $D(f) = (0; 2)$. 8) $f(x) = \log_2 \frac{2x - 3}{x + 7}$ Дробь под знаком логарифма должна быть строго больше нуля: $$ \frac{2x - 3}{x + 7} > 0 $$ Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $2x - 3 = 0 \implies x = 1{,}5$; $x + 7 = 0 \implies x = -7$. Нанесём найденные точки на числовую прямую и определим знаки дроби на полученных промежутках: - на промежутке $(1{,}5; +\infty)$ дробь положительна ($+$); - на промежутке $(-7; 1{,}5)$ дробь отрицательна ($-$) ; - на промежутке $(-\infty; -7)$ дробь положительна ($+$). Выбираем интервалы со знаком «$+$»: $$ x \in (-\infty; -7) \cup (1{,}5; +\infty) $$ Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (1{,}5; +\infty)$.