ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.37

1) $\log_2(1 - x^2) = \log_2(1 - x) + \log_2(1 + x)$ Для того чтобы равенство имело смысл, выражения под знаками всех логарифмов должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} 1 - x^2 > 0, \\ 1 - x > 0, \\ 1 + x > 0 \end{cases} $$ Решим полученную систему неравенств: $$ \begin{cases} (1 - x)(1 + x) > 0, \\ x < 1, \\ x > -1 \end{cases} \iff \begin{cases} -1 < x < 1, \\ -1 < x < 1 \end{cases} \iff x \in (-1; 1) $$ При $x \in (-1; 1)$ выражения $1 - x$ и $1 + x$ положительны, поэтому по свойству суммы логарифмов: $$ \log_2(1 - x) + \log_2(1 + x) = \log_2((1 - x)(1 + x)) = \log_2(1 - x^2) $$ Следовательно, равенство является верным при всех $x$ из области определения. Ответ: $x \in (-1; 1)$. --- 2) $\lg \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg (x^2 - 2x + 1) - \lg (x^2 + 1)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых определены обе части равенства: $$ \begin{cases} \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} > 0, \\ x^2 - 2x + 1 > 0, \\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} $$ Заметим, что $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, а выражение $x^2 + 1 > 0$ при любом действительном значении $x$. Тогда система принимает вид: $$ \begin{cases} \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1} > 0, \\ (x - 1)^2 > 0 \end{cases} \iff (x - 1)^2 > 0 \iff x \neq 1 $$ При любых $x \neq 1$ подлогарифмические выражения $x^2 - 2x + 1$ и $x^2 + 1$ строго положительны, и по свойству разности логарифмов: $$ \lg (x^2 - 2x + 1) - \lg (x^2 + 1) = \lg \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} $$ Следовательно, равенство выполняется при всех $x \neq 1$. Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. --- 3) $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 2\log_5(2 - x)$ Найдем область допустимых значений для выражений, входящих в равенство: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 > 0, \\ 2 - x > 0 \end{cases} $$ Так как $x^2 - 4x + 4 = (2 - x)^2$, получаем: $$ \begin{cases} (2 - x)^2 > 0, \\ 2 - x > 0 \end{cases} \iff 2 - x > 0 \iff x < 2 $$ При $x < 2$ выражение $2 - x > 0$, поэтому по свойству логарифма степени: $$ 2\log_5(2 - x) = \log_5((2 - x)^2) = \log_5(x^2 - 4x + 4) $$ При $x \ge 2$ правая часть равенства не определена. Таким образом, равенство верно для всех $x < 2$. Ответ: $x \in (-\infty; 2)$. --- 4) $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 2\log_5|x - 2|$ Найдем допустимые значения переменной $x$: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 > 0, \\ |x - 2| > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} (x - 2)^2 > 0, \\ |x - 2| > 0 \end{cases} \iff x \neq 2 $$ При любом $x \neq 2$ выражение $|x - 2| > 0$, и по свойству логарифма: $$ 2\log_5|x - 2| = \log_5(|x - 2|^2) = \log_5((x - 2)^2) = \log_5(x^2 - 4x + 4) $$ Следовательно, равенство справедливо для всех $x$, кроме $x = 2$. Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.