ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.38

**1)** $\lg \sin 1^\circ \cdot \lg \sin 2^\circ \cdot \lg \sin 3^\circ \cdot ... \cdot \lg \sin 89^\circ \cdot \lg \sin 90^\circ$ Обратим внимание на последний множитель выражения: $$ \sin 90^\circ = 1 $$ Тогда его десятичный логарифм равен: $$ \lg \sin 90^\circ = \lg 1 = 0 $$ Так как один из множителей произведения равен нулю, то и всё произведение равно нулю: $$ \lg \sin 1^\circ \cdot \lg \sin 2^\circ \cdot ... \cdot \lg \sin 89^\circ \cdot 0 = 0 $$ **Ответ: 0.** --- **2)** $\lg \tg 10^\circ \cdot \lg \tg 15^\circ \cdot \lg \tg 20^\circ \cdot ... \cdot \lg \tg 75^\circ \cdot \lg \tg 80^\circ$ Аргументы тангенсов в данном произведении образуют арифметическую прогрессию с шагом $5^\circ$. Среди множителей присутствует член с углом $45^\circ$: $$ \tg 45^\circ = 1 $$ Следовательно: $$ \lg \tg 45^\circ = \lg 1 = 0 $$ Поскольку один из сомножителей равен нулю, значение всего произведения равно нулю. **Ответ: 0.** --- **3)** $\lg (\tg 30^\circ \cdot \tg 32^\circ \cdot \tg 34^\circ \cdot ... \cdot \tg 58^\circ \cdot \tg 60^\circ)$ Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $$ P = \tg 30^\circ \cdot \tg 32^\circ \cdot \tg 34^\circ \cdot ... \cdot \tg 58^\circ \cdot \tg 60^\circ $$ По формуле приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha$, а по основному тригонометрическому тождеству: $$ \tg \alpha \cdot \tg(90^\circ - \alpha) = \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $$ Сгруппируем множители парами, сумма углов в которых равна $90^\circ$: - $\tg 30^\circ \cdot \tg 60^\circ = \tg 30^\circ \cdot \ctg 30^\circ = 1$; - $\tg 32^\circ \cdot \tg 58^\circ = \tg 32^\circ \cdot \ctg 32^\circ = 1$; - $\tg 34^\circ \cdot \tg 56^\circ = 1$; - $\dots$ - $\tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ = 1$. Всего в произведении $16$ множителей (чётные углы от $30^\circ$ до $60^\circ$), которые разбиваются ровно на $8$ таких пар. Получаем: $$ P = 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 = 1 $$ Тогда значение всего выражения: $$ \lg P = \lg 1 = 0 $$ **Ответ: 0.** --- **4)** $\lg \tg 1^\circ + \lg \tg 2^\circ + \lg \tg 3^\circ + ... + \lg \tg 88^\circ + \lg \tg 89^\circ$ Используем свойство логарифма произведения $\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)$: $$ \lg \tg 1^\circ + \lg \tg 2^\circ + ... + \lg \tg 89^\circ = \lg(\tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot ... \cdot \tg 88^\circ \cdot \tg 89^\circ) $$ Преобразуем выражение под знаком логарифма. Сгруппируем множители, дающие в сумме аргументов $90^\circ$, учитывая формулу приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha$: $$ \tg \alpha \cdot \tg(90^\circ - \alpha) = \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $$ Объединим множители в пары: - $\tg 1^\circ \cdot \tg 89^\circ = 1$; - $\tg 2^\circ \cdot \tg 88^\circ = 1$; - $\dots$ - $\tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ = 1$. Посередине останется множитель $\tg 45^\circ = 1$. Таким образом, произведение всех тангенсов равно: $$ \tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot ... \cdot \tg 89^\circ = 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 \cdot \tg 45^\circ = 1 $$ Следовательно, сумма логарифмов равна: $$ \lg 1 = 0 $$ **Ответ: 0.**