ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.35

Рассмотрим основание и аргумент логарифма: $7 + 4\sqrt{3}$ и $7 - 4\sqrt{3}$. Перемножим эти два числа, применив формулу разности квадратов: $$ (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 $$ Так как их произведение равно $1$, эти числа являются взаимно обратными. Выразим аргумент логарифма через его основание: $$ 7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1} $$ Подставим полученное выражение в исходный логарифм и применим свойство логарифма степени $\log_a (b^k) = k \log_a b$: $$ \log_{7+4\sqrt{3}} (7 - 4\sqrt{3}) = \log_{7+4\sqrt{3}} (7 + 4\sqrt{3})^{-1} = -1 \cdot \log_{7+4\sqrt{3}} (7 + 4\sqrt{3}) = -1 \cdot 1 = -1 $$ Число $-1$ является целым ($-1 \in \mathbb{Z}$), следовательно, значение выражения $\log_{7+4\sqrt{3}} (7 - 4\sqrt{3})$ — целое число. Что и требовалось доказать.