ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.39

Для упрощения выражения применим формулу перехода к новому основанию логарифма: $$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$ Перейдём во всех множителях к десятичному логарифму (по основанию $10$): $$ \log_3 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3} $$ $$ \log_4 3 = \frac{\lg 3}{\lg 4} $$ $$ \log_5 4 = \frac{\lg 4}{\lg 5} $$ $$ \dots $$ $$ \log_{10} 9 = \frac{\lg 9}{\lg 10} $$ Подставим полученные дроби в исходное произведение: $$ \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{10} 9 = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 5} \cdot \dots \cdot \frac{\lg 9}{\lg 10} $$ Заметим, что числитель каждой последующей дроби сокращается со знаменателем предыдущей. После сокращения всех промежуточных множителей остаётся: $$ \frac{\lg 2}{\lg 10} $$ Так как $\lg 10 = 1$, получаем: $$ \frac{\lg 2}{1} = \lg 2 $$ Ответ: $\lg 2$ (или $\log_{10} 2$).