ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.36

Рассмотрим основание логарифма $9 - 4\sqrt{5}$ и подлогарифмическое выражение $9 + 4\sqrt{5}$. Найдем произведение этих выражений, применив формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ (9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1 $$ Так как произведение чисел равно $1$, они являются взаимно обратными. Выразим подлогарифмическое выражение через основание: $$ 9 + 4\sqrt{5} = \frac{1}{9 - 4\sqrt{5}} = (9 - 4\sqrt{5})^{-1} $$ Заметим также, что логарифм корректно определен: * $9 = \sqrt{81} > \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$, следовательно, основание $9 - 4\sqrt{5} > 0$ и аргумент $9 + 4\sqrt{5} > 0$; * $9 - 4\sqrt{5} \neq 1$, так как $4\sqrt{5} \neq 8$ ($\sqrt{80} \neq \sqrt{64}$). Подставим полученное равенство в исходное выражение и применим свойство логарифма степени $\log_a (b^k) = k \log_a b$: $$ \log_{9-4\sqrt{5}}\left(9 + 4\sqrt{5}\right) = \log_{9-4\sqrt{5}}\left((9 - 4\sqrt{5})^{-1}\right) = -1 \cdot \log_{9-4\sqrt{5}}(9 - 4\sqrt{5}) = -1 \cdot 1 = -1 $$ Число $-1$ принадлежит множеству целых чисел ($-1 \in \mathbb{Z}$). Значит, значение исходного выражения действительно является целым числом, что и требовалось доказать.